Материал: Теория колебаний и теория удара. учеб. пособие. Переславцева Н.С., Бестужева Н.П

Обычно ограничения, которые следует наложить на величины, характеризующие движение, чтобы колебания были малыми, удается установить только после полного решения задачи в предположении, что колебания малые. Ниже рассматриваются только малые или, если не малые, линейные колебания.

Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы

Для вывода из уравнения Лагранжа (1) линейного уравнения малых собственных колебаний следует кинетическую и потенциальную энергии разложить в ряды в окрестности положения равновесия системы, где .

Пусть система, на которую наложены голономные, идеальные, неосвобождающие и стационарные связи, состоит из точек и движется вблизи положения равновесия. Ее кинетическая энергия

,

где и – радиус-вектор и скорость -ой точки.

При сделанных допущениях о стационарности связей радиус-вектор каждой точки системы зависит от времени только через обобщенную координату ; следовательно, . Подставляя это в выражение кинетической энергии, получаем

,

где

.

Величина , как и , может зависеть только от . Разлагая в окрестности в степенной ряд, имеем

.

Здесь и дальше индекс 0 означает, что соответствующие величины следует вычислять при .

Для получения в разложении кинетической энергии слагаемых не выше второго порядка по отношению к и достаточно из разложения взять только постоянное значение , которое обозначим . При учете других слагаемых из разложения появляются члены третьего и более высокого порядков.

Итак, выражение кинетической энергии с отбрасыванием слагаемых третьего и более высокого порядков можно представить в виде

. (2)

Положительная постоянная называется коэффициентом инерции. Обычно по размерности коэффициент инерции является или массой, или моментом инерции.

Потенциальная энергия системы для стационарного силового поля и стационарных связей является функцией только обобщенной координаты . Разлагая ее в степенной ряд в окрестности , получаем

.

Потенциальную энергию в положении равновесия при примем равной нулю. Величина есть значение обобщенной силы в положении равновесия системы, равное нулю.

Будем считать, что в положении равновесия потенциальная энергия имеет минимум. Это является достаточным условием устойчивости положения равновесия системы. В этом случае величина положительна. Обозначим ее . Постоянную называют коэффициентом жесткости или просто жесткостью.

Таким образом, отбрасывая слагаемые третьего и более высокого порядка, имеем

. (3)

Системы, для которых кинетическая и потенциальная энергии выражаются точно по формулам (2) и (3) без отбрасывания слагаемых более высокого порядка, называются линейными. Для них вся математическая теория является такой же, как и для систем, совершающих малые колебания, хотя колебания для линейных систем могут быть любыми, не обязательно малыми. В дальнейшем рассматриваются линейные колебания, в число которых входят и малые колебания.

На основании (2) и (3) получаем:

; ; ; .

Подставляя эти значения производных в уравнение Лагранжа (1), получим следующее дифференциальное уравнение малых собственных колебаний системы с одной степенью свободы:

. (4)

При учете слагаемых третьего и более высокого порядка в разложениях кинетической и потенциальной энергий в уравнении (4) появляются члены второго и более высокого порядка, и дифференциальное уравнение становится нелинейным.

П

Рис. 4

Поместим начало отсчета расстояния в положение равновесия – точку . Сила будет направлена к началу отсчета расстояний – в точке . В этой точке она равно нулю. Ее проекция на ось

,

где постоянная величина – жесткость.

Силу в этом случае называют линейно восстанавливающей силой. Силы упругости, подчиняющиеся закону Гука, являются линейными восстанавливающими силами.

Подставляя в дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки значение линейной восстанавливающей силы и перенося все члены в одну часть уравнения, получаем

. (5)

Уравнение (5) является дифференциальным линейным уравнением собственных прямолинейных колебаний материальной точки.

Сравнивая (4) и (5), видим, что эти уравнения полностью аналогичны. Только в уравнение для системы вместо координаты входит обобщенная координата , вместо массы – коэффициент инерции , а вместо жесткости следует взять коэффициент жесткости .

Интегрирование дифференциального уравнения собственных колебаний

Если разделить обе части уравнения (4) на и обозначить положительную величину , то получим дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы с одной степенью свободы в окончательной форме:

. (6)

Постоянная величина называется круговой (или циклической) частотой колебаний.

Для прямолинейных колебаний материальной точки соответственно имеем

,

где .

Размерность круговой частоты можно установить из уравнения (6). Так как

,

то

,

если время выражать в секундах. Ее размерность не зависит от размерности обобщенной координаты.

Круговая частота выражается в тех же единицах, что и угловая скорость, в частности единица круговой частоты колебаний точки тоже .

Дифференциальное уравнение (6) является однородным линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение можно искать в виде . После подстановки этого выражения в (6) получаем характеристическое уравнение для уравнения (6)

.

Это квадратное уравнение имеет два чисто мнимых корня: .

На основе теории дифференциальных уравнений решение уравнения (6) можно представить в виде

(7)

и для обобщенной скорости

.

Произвольные постоянные и определяются из начальных условий: где и - начальные значения обобщенной координаты и обобщенной скорости.

Используя выражения для и при , получаем .

Подставляя их значения в (7), имеем

. (8)

Уравнение (8) – одна из двух основных форм выражения собственных колебаний.

Для колебаний материальной точки соответственно

,

где и – начальное отклонение точки от положения равновесия и начальная скорость.

Представим выражение для в другой, так называемой амплитудной форме:

.

Из сравнения этого выражения с (7) для новых постоянных получим формулы

.

Отсюда

. (9)

Иногда вычисляют .

Подставляя в (9) вместо и их выражения через начальные значения, получаем:

; ; ; . (10)