Материал: Теория Вероятностей 2 курс 1 вариант

Контрольная работа

По дисциплине

« Теория вероятностей »

Вариант 1

1. Задание:

Числа натурального ряда 1, 2, 3, …., n расставлены случайно. Найти вероятность того, что числа 1 и 2 расположены рядом и притом в порядке возрастания.

Решение:

Вероятность расположения чисел 1-2 такая же как и в одной оставшейся перестановке (2-1) и эти два равновероятных случая исчерпывают все возможные расклады, значит вероятность составляет 1/2.

----------------

2. Задание:

Три станка работают независимо. Вероятность того что первый станок в течение смены выйдет из строя равна 0.1, для второго и тетьего станков эти вероятности соответственно 0.2 и 0.3. Найти вероятность того, что в течение смены:

1) Только один станок не выйдет из строя.

2) Не выйдут из строя только два станка.

3) Три станка выйдут из строя.

4) Хотя бы один станок не выйдет из строя.

Решение:

1 станок выход из строя - p1 = 0.1

2 станок выход из строя - p2 = 0.2

3 станок выход из строя - p3 = 0.3

1 станок продолжит работу - q1 = 0.9

2 станок продолжит работу - q2 = 0.8

3 станок продолжит работу - q3 = 0.7

1) Только один станок не выйдет из строя.

P(x) = p1 * p2 * q3 + p1 * q2 * p3 + q1 * p2 * p3

0.1*0.2*0.7 + 0.1*0.8*0.9 + 0.9*0.2*0.3 = 0.014 + 0.072 + 0.054 = 0.14

2) Не выйдут из строя только два станка.

P(x) = p1 * q2 * q3 + q1 * p2 * q3 + q1 * q2 * p3

0.1*0.8*0.9 + 0.9*0.2*0.7 + 0.9*0.8*0.3 = 0.072+0.126+0.216 = 0.414

3) Три станка выйдут из строя.

P(x) = p1 * p2 * p3

0.1*0.2*0.3 = 0.006

4) Хотя бы один станок не выйдет из строя.

P(x) = 1 - p1 * p2 * p3

1 - 0.1*0.2*0.3 = 0.994

----------------

3. Задание:

Сборщик получает в среднем 50% деталей первого завода, 30% - второго завода, 20% третьего завода. Вероятность того, что деталь первого завода отличного качества равна 0.7, для второго и третьего заводов эти вероятности соответственно равны 0.8 и 0.75.

Найти вероятность того, что:

1) На удачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества.

2) Выбранная деталь отличного качества изготовлена третьим заводом.

Решение:

1 завод отличное качество - р1 = 0.7

2 завод отличное качество - р2 = 0.8

3 завод отличное качество - р3 = 0.75

1) На удачу взятая сборщиком деталь оказалась отличного качества.

Вероятность удачной детали равна сумме вероятностей деталей хорошего качества для каждого завода.

P(x) = (50/100)*0.7 + (30/100)*0.8 + (20/100)*0.75 = 0.35+0.24+0.15 = 0.74

2) Выбранная деталь отличного качества изготовлена третьим заводом.

По формуле Байеса

Р(1) = 0.2*0.75/0.74 = 0.2

----------------

4. Задание:

Вероятность работы автомата в некоторый момент времени равна p. Имеется k независимо работающих автоматов.

Найти:

1) Вероятность того, что:

А) будут работать в данный момент равно m автоматов.

Б) будут работать не болеее m автоматов.

2) наивероятнейшее число работающих автоматов среди k автоматов.

p = 0.55; k = 7; m = 4;

Решение:

p = 0.55; k = 7; m = 4; q = (1 - p) = 1 - 0.55 = 0.45

1. Вероятность того, что будут работать в данный момент m автоматов.

= *p^m *q^k-m - вероятность того, что из k включены m автоматов

= * (0.55)⁴ * (0.45)³ = (0.55)⁴ * (0.45)³ = 35*0.091*0.091 = 0.290304

2. Вероятность того, что будут работать не болеее m автоматов.

По теореме сложения несовместных событий

= (7! / 0! * 7!) * (0.55)⁰ * (0.45)⁷ = 0.0037366

= (7! / 1! * 6!) * (0.55)¹ * (0.45)⁶ = 7 * 0.55 * 0.00830 = 0.031969

= (7! / 2! * 5!) * (0.55)² * (0.45)⁵ = 21 * 0.3025 * 0.018452 = 0.11722

= (7! / 3! * 4!) * (0.55)³ * (0.45)⁴ = 35 * 0.1663 * 0.041 = 0.23867

= (7! / 4! * 3!) * (0.55)⁴ * (0.45)³ = 35 * 0.0915 * 0.091125 = 0.29182

P(m == 4) = 1 – ( + + + + ) = 1 – (0.0037366 + 0.031969 + 0.11722 + 0.23867 + 0.29182) = 1 – 0.68118 = 0.31

----------------

5. Задание:

Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно четырем. Найти вероятность того, что за две минуты поступит:

А) шесть вызовов.

Б) менее шести вызовов.

Решение:

1. вероятность того, что за две минуты поступит 6 вызовов

математическое ожидание числа вызовов за 2 минуты равно L = 2*4 = 8

P(k) = l^k*e^(-l)/k!

P(k) = 8^6*e^(-8)/6! = 262144*0.000335/720 = 87.81824/720 = 0.1219

2. вероятность того, что за две минуты поступит менее 6 вызовов

т.е. 5 и менее вызовов

P(k<6) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)

P(0) = 8^0*e^(-8)/0! = 1*0.000335/1 = 0.000335

P(1) = 8^1*e^(-8)/1! = 8*0.000335/1 = 0.00268

P(2) = 8^2*e^(-8)/2! = 64*0.000335/2 = 0.01072

P(3) = 8^3*e^(-8)/3! = 520*0.000335/6 = 0.02903

P(4) = 8^4*e^(-8)/4! = 4096*0.000335/24 = 0.05717

P(5) = 8^5*e^(-8)/5! = 32768*0.000335/120 = 0.091477

P(k<6) = 0.000335 + 0.00268 + 0.01072 + 0.02903 + 0.05717 + 0.091477 = 0.191412

----------------

6. Задание:

На конвейер за смену поступает n изделий. Вероятность того, что поступившая на конвейер деталь стандартна, равна p. Найти вероятность того, что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно m.

n = 300; p = 0.75; m = 240;

Решение:

Локальная теорема Лапласа

n = 300; общее кол-во изделий

p = 0.75; вероятность что деталь на конвейре стандартна

m = 240;

q = 1 - p; вероятность не стандартной детали

npq = 300*0.75*(1-0.75)= 56.25

Pn(m) = 1/(sqrt(npq))*fi(x), fi(x)= 1/(sqrt(2*pi))^e^-(x^2/2), x = (m-n*p)/(sqrt(npq))

x = (m-n*p)/(sqrt(npq)) = (240 - 300 * 0.75) / (sqrt(300*0.75*(1-0.75))) = 15/7.5 = 2

fi(2) = 1/(sqrt(2*pi))^e^-(x^2/2) = 1 / (sqrt(2*3,14))^e^-(2^2 / 2) = 0.3850

P300(240) = 1/7.5 * 0.3850 = 0.133 * 0.3850 = 0.0513

Вероятность того, что что стандартных деталей на конвейер за смену поступило ровно m = 0.0513

----------------

7. Задание:

Определить математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины; построить функцию распределения F(x), если закон распределения этой случайной величины имеет вид:

Значение	12	14	18	24	27
Вероятность	0.2	0.1	0.3	0.2	?

Решение:

Значение	12	14	18	24	27
Вероятность	0.2	0.1	0.3	0.2	0.2

Находим математическое ожидание:

М[x] = = 12*0.2+14*0.1+18*0.3+24*0.2+27*0.2 = 2.4+1.4+4.8+5.4 = 14

Находим дисперсию:

D(X) = M(X²) - [M(X)]²

M(X²) =∑x²(i)*p(i) = 12²*0.2+14²*0.1+18²*0.3+24²*0.2+27²*0.2 = 28.8+19.6+97.2+115.2+145.8 = 406.6

[M(X)]² = (14)² = 196

D(X) = 406.6 – 196 = 210.6

Находим среднее квадратическое отклонение:

σ(X) = √D(X) = √210.6 = 14.512

Составим функцию распределения:

F(x)=P(X<x)

1. F(x)=P(X<12)=0

2. F(x)=P(X<14)=P(X=12)=0,2

3. F(x)=P(X<18)=P(X=12)+P(X=14)=0,2+0,1=0,3

4. F(x)=P(X<24)=P(X=12)+P(X=14)+P(X=18)=0,2+0,1+0,3=0,5

5. F(x)=P(X<27)=P(X=12)+P(X=14)+P(X=18)+P(X=24)=0,5+0,4=0,9

6. F(x)=P(X>27)=0,9+0,1=1

Компактная запись функции распределения - система:

                          {0, x ≤ 12

                          {0.2, 12 < x ≤ 14

F(x)=P(X < x) ={0.3, 14 < x ≤ 18

                          {0.5, 18 < x ≤ 24

                          {0.9, 24 < x ≤ 27

                          {1,     x > 27

----------------

8. Задание:

Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью 0.6. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины Х числа появления события А в трех опытах. Найти числовые характеристики этой случайной величины Х.

Решение:

P(k) = C_n^kp^kq^n-k Формула Бернулли

P(0) = 0.4³ = 0.064

P(1) = 3*0.4²*0.6 = 3*0.16*0.6 = 0.288

P(2) = 3*0.4*0.6² = 0.432

P(3) = 0.6³ = 0.216

P(A) = 0.064+0.288+0.432+0.216 = 1

----------------

9. Задание:

Случайная величина Х задана интегральной функцией (функцией распределения) F(x).

Найти:

А) дифференциальную функцию (плотность вероятности) f(x);

Б) математическое ожидание и дисперсию.

В) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a, b);

(0.5; 2)

Решение:

Найдем плотность распределения случайной величины Х как производную функции распределения:

Найдем метаметическое ожидание:

Найдем дисперсию:

вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0.5; 2).

Р( 0.5 < X < 2) = F(2) – F(0.5) = 1 – (0.5)² = 1 – 0.25 = 0.75

Плотность распределения f(x)

Плотность распределения F(x)

-------------------

10. Задание:

Случайная величина Х задана дифференциальной функцией (плотность вероятности) f(x).

Найти:

А) интегральную функцию (функцию распределения) F(x);

Б) математическое ожидание и дисперсию.

В) вероятность попадания случайной величины Х в интервал (a, b);

(7; 14)

Решение:

A) Найдем функцию распределения F(x).

Если x < 0, то f(x) = 0

F(x) =

Если , то f(x) =

F(x) =

Таким образом функция распределения