Материал: Управление рисками и страхование. Енина Е.П., Лаврёнова Г.А

5.4. Сравнительная оценка вариантов решений в зависимости от критериев эффективности.

По числу критериев оценки альтернатив выделяют одно- и мно­го­критериальные задачи принятия решения (ЗПР). Принципиаль­ная раз­ница между этими двумя классами задач состоит в том, что в условиях многокритериальное возникает проблема соизмерения, совокупного учета требований разных критериев, которая в Л отличие от задачи упорядочения альтернатив одному единственному критерию не может быть решена формальным путем и требует обращений к ЛПР, органи­зации взаимодействия с ним в процессе решения задачи диалога между человеком и компьютером.

В специальной литературе можно встретить термин «методы реше­ния многокритериальных задач», иногда говорят даже о методах «пре­одоления» многокритериальности. Необходимо иметь в виду, что ка­кого-либо формального математического метода «преодоления» мно­гокритериальности не может быть в принципе. Все без исключения ме­тоды решения многокритериальных задач представляют собой различ­ные способы организации взаимодействия (диалога) с ЛПР и по суще­ству отличаются друг от друга формой вопросов, которые задаются лицу, принимающему решение, в процессе диалогового взаимодейст­вия с ним компьютерной программы.

По числу лиц, принимающих решение, различают задачи индивиду­ального и группового выбора, иначе говоря, задачи с индивидуальным и групповым ЛПР. В особую группу выделяются задачи, в которых возникает проблема интеграции млений разных участников группового ЛПР. Для этого используются различные схемы «голосования», а также менее демократические процедуры, предполагающие наличие так на­зываемого «диктатора».

По кратности решения ЗПР разделяют на уникальные и повторяю­щиеся (типовые). Если ЗПР относится к классу повторяющихся, при оценке целесообразности затрат времени и средств па разработку фор­мальной процедуры ее решения (скажем, компьютеризированной) учи­тывают как прямой эффект — качество решения, так и косвенный — сокращение затрат на выработку решения. Если же речь идет об уни­кальной задаче, весь полезный эффект от использования формального алгоритма будет скорее всего получен за счет повышения качества ре­шения. Следует различать кратность решения задачи и кратность ис­пользования результатов решения. Есть задачи, которые решаются од­нократно, но результаты решения их используются многократно.

Кратность использования результатов предопределяет, в какой форме может формулироваться критерий оптимальности решения. Особенно это относится к условиям риска. Если результат решения ис­пользуется многократно, возможно применение в качестве критерия оценки показателей среднего эффекта (средних ожидаемых затрат, вы­ручки и т.п.). Если же результат используется однократно, то средняя величина эффекта не дает никакого (представления о том, что будет при однократной реализации решения. Более того, кратность реализа­ции решения предопределяет класс стратегий, в котором можно искать решение задачи. При многократной реализации возможно использова­ние так называемых смешанных стратегий, т.е. стратегий, предусмат­ривающих смешивание в определенной пропорции тех или иных дей­ствий. При этом в какой-то доле ситуаций применяется один вариант действия, в другой доле — иной. Совершенно ясно, что апеллирование к таким смешанным стратегиям в случае однократной реализации ре­шения задачи бессмысленно.

Наличие нескольких критериев выбора эффективных альтернатив вносит дополнительную неопределенность при принятии наиболее предпочтительных решений.

Таким образом, имеет место неопределенность двух видов:

1) неопределенность, обусловленная отсутствием или недостатком информации об анализируемых процессах;

2) неопределенность, причиной которой является наличие несколь­ких принципов оптимальности.

Пусть при выборе эффективных решений при наличии неуправляе­мых факторов используется множество критериев оптимальности . Составляющими могут быть критерии: гарантиро­ванного результата, Сэвиджа, пессимизма и т.д.

Критерии являются функцией управляемых факторов

и неуправляемых факторов .

Располагая множеством критериев необхо­димо выбрать эффективное решение с учетом указанной совокупности решений.

Проанализируем решения примеров, приведенных в этом параграфе.

Анализ выпуска новых видов продукции (табл. 2.2) позволяет выде­лить следующие лучшие стратегии: по критерию гарантированного результата — , по критерию оптимизма — , по критерию песси­мизма — , по критерию Сэвиджа — , по критерию Гурвица (песси­мизма — оптимизма) при k = 0,6 - .

Поскольку стратегии и фигурируют в качестве оптимальных по два раза, то к практическому применению можно реко­мендовать или стратегию или . Вместе с тем, стратегия является более осторожной и скорее всего ЛПР выберет стратегию .

Проведем анализ коммерческой стратегии компании при неопреде­ленной конъюнктуре. Исследование матрицы платежеспособного спроса, представленной в табл. 5.4, показывает, что лучшими являются следующие стратегии: по критерию гарантированного результата — , по критерию оптимизма — , по критерию пессимизма — , по критерию Гурвица при k = 0,6 - .

Так как стратегия повторяется в качестве оптимальной по трем критериям выбора из пяти, то степень ее надежности можно признать достаточно высокой для того, чтобы рекомендовать эту стратегию к практическому применению.

При рассмотрении платежных матриц больших размерностей (m+n — большое) можно быстро, не проводя громоздких вычислительных операций, оценить предлагаемые варианты решений и выбрать из них оптимальный. В этом заключается наиболее существенное преимуще­ство теории оптимальных критериев. Также следует отметить, что имеются стандартные программы для персональных компьютеров, с помощью которых можно исследовать платежные матрицы и находить соответствующие критерии оптимальности.

Из этих примеров видно, что в случае отсутствия информации о ве­роятностях состояний среды теория не дает однозначных и математи­чески строгих рекомендаций по выбору критериев принятия решений. Это объясняется в большей мере не слабостью теории, а неопределен­ностью самой ситуации. Единственный разумный выход в подобных случаях — попытаться получить дополнительную информацию, на­пример, путем проведения исследований или экспериментов. В отсут­ствие дополнительной информации принимаемые решения теоретиче­ски недостаточно обоснованы и в значительной мере субъективны. Хотя применение математических методов в играх с природой не дает абсолютно достоверного результата и последний в определенной сте­пени является субъективным (вследствие произвольности выбора кри­терия принятия решения), оно тем не менее создает некоторое упоря­дочение имеющихся в распоряжении ЛПР данных: задаются множе­ство состояний природы, альтернативные решения, выигрыши и по­тери при различных сочетаниях состояния «среда — решение». Такое упорядочение представлений о проблеме само по себе способствует повышению качества принимаемых решений [13].

5.5. Оптимальность по Парето.

Анализ решений при многих критериях в значи­тельной степени сводится к организации в той или иной форме взаимо­действия с ЛПР, которое одно только и может разрешить проблему со­измерения различных критериев. Тем не менее, существует довольно ограниченная область, в которой применение сугубо формального ана­лиза без обращения к ЛПР оказывается весьма полезным. Речь идет о выделении так называемого множества эффективных, или оптималь­ных по Парето, альтернатив.

Легко понять, что альтернатива, не являющаяся эффективной, ни при каких условиях не может рассматриваться в качестве решения задачи. Ведь для неэффективной альтернативы существует другая, превосхо­дящая ее по всем критериям. Отсюда вытекает важнейший критерий рациональности процесса разработки решения: выбираемый вариант должен быть эффективным. Эффективной считается такая альтерна­тива, для которой не существует другой допустимой, не уступающей ей по всем критериям и хотя бы по одному критерию превосходящей ее.

Как же отыскивать эффективные решения? Главное здесь состоит в том, что после того, как сформулированы критерии, задача отыскания множества эффективных решений на заданном множестве альтернатив является, хоть и сложной, но вполне формальной задачей, не требую­щей для своего решая обращения к ЛПР. Во многих случаях множе­ство эффективных альтернатив можно отыскать, решая задачу с инте­гральным критерием оптимальности, представляющим собой сумму отдельных, частных критериев с переменными весами. При этом не имеет значения, какие веса брать для начала процесса. Все равно пере­бираются с каким-то заданным шагом все возможные комбинации на отрезке от 0 до 1. После того, как выделено множество эффективных альтернатив, ЛПР может выбрать одну из них, но строить из них ком­бинации, даже в тех случаях, когда такая комбинированная альтерна­тива имеет смысл, нельзя. Она может оказаться неэффективной и не может рассматриваться в качестве решения задачи.

Мы же отмечали, говоря о различных алгоритмах решения много­критериальных задач что они фактически отличаются друг от друга формой вопросов, задаваемых ЛПР. Очень часто пытаются сформули­ровать эти вопросы таким образом, чтобы ЛПР указало относительные веса (коэффициенты важности или значимости) отдельных критериев, а затем строят так называемую свертку критериев, т.е. за интегральный показатель качества альтернативы принимают сумму отдельных крите­риев с коэффициентами важности.

Такая методика используется настолько часто, что иногда начинает восприниматься как единственно возможная. К ее достоинствам, по­мимо простоты, следует отнести то, что получаемая при таком подходе альтернатива заведомо будет эффективной. Однако применение этой схемы основано на дополнительных предположениях, которые не все­гда оправданы. С математической точки зрения такая сумма частных критериев с коэффициентами важности есть не что иное, как аддитив­ная функция ценности. Для того, чтобы такая логическая конструкция правильно отражала систему предпочтений ЛПР, необходимо (на этот счет доказаны соответствующие теоремы), чтобы используемые для оценки альтернатив критерии обладали свойством взаимной независи­мости по предпочтению.

В пункте (5.3.3) были рассмотрены матрица платежеспособного спроса Е (табл.5.4) и ее матрица рисков R (табл.5.5).

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероятно­сти того, что реальная ситуация развивается по варианту .Именно такое положение называется частичной неопределенностью. Тогда ре­шение можно принимать, в частности, по правилу максимизации сред­него ожидаемого дохода.

Пример. Прибыль, получаемая компанией при реализации i-го реше­ния, является случайной величиной с рядом распределения

Математическое ожидание и есть средняя ожидаемая

прибыль, обозначаемая также . Итак, правило рекомендует при­нять решение, приносящее максимальную среднюю ожидаемую при­быль.

Предположим, что в рассматриваемом примере вероятности равны: . Тогда

Максимальная средняя ожидаемая прибыль равна и со­ответствует стратегии компании .

Далее рассмотрим выбор решения по правилу минимизации сред­него ожидаемого риска. Риск компании при реализации i-го

решения является случайной величиной с рядом распределения:

Математическое ожидание и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также .Правило рекомендует принять решение, влеку­щее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероят­ностях для матрицы рисков R. Получаем:

Минимальный средний ожидаемый риск равен и соответ­ствует стратегии компании . Отличие частичной (вероятност­ной) неопределенности от полной неопределенности очень сущест­венно. Как указывалось выше, принятие решений, исходя из критериев оптимальности, нельзя считать окончательным, самым лучшим. Это лишь некоторые предварительные соображения. Далее пытаются полу­чить дополнительную информацию о возможностях того или иного варианта решения,o его вероятности, что уже предполагает повторяе­мость рассматриваемой схемы принятия решений: то ли это было про­шлом, то ли это будет в будущем.