Материал: Вариационные методы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Численные методы 1. Метод конечных разностей (МКР)

После сокращения на ∆x получим систему линейных алгебраических уравнений, которая своей структурой напоминает уравнение Эйлера:

k−1

+ x

k−1

+ y

− y

k−1

+ x

k+1

+ y

k+1

− y

+ F

−

∆x

+ x

k+1

+ y

k+1

− y

k−1

+ x

−1

+ y

− y

k−1

−

= 0;

∆x

k [1,n −1].

(6.4)

Система уравнений (6.4) может рассматриваться как конечномерный аналог уравнений Эйлера.

Пример 6.1. Решение простейшей задачи вариационного исчисления МКР

Решить методом конечных разностей пример 2.a.

J(y)= ∫1 (x2 + y2 + y'2 )dx; y(−1)=1;
−1	y(1)= 2.

Сравнить решение с аналитическим. Построить графики. Конечномерный аналог уравнения Эйлера для этого функционала для 10 интервалов разбиения имеет вид:

1	2	y	k−1	+ y	k
			k−1		k

			2
2			2


1

2 (yk−1 + 2yk +
2 (yk−1 + 2yk +

yk	+ yk+1		1	yk+1 − yk
+ 2		−
				2

	2		0,2	0,2

		k [1,9].

yk+1 )−100 (yk+1 − 2yk + yk−1 )= 0; 2

k [1,9].

	yk	− yk−1

− 2			= 0;
		0,2

− 49.5yk−1 +101yk	− 49.5yk+1	= 0;
k [1,9];		(6.5)
k [1,9];

при этом в 1-е уравнение входит y0=1, а в 9-е уравнение y10=2.

Пример 6.1. Решение простейшей задачи вариационного исчисления МКР

Решим систему уравнений (6.5) с использованием MathCad:

	101	49.5	0	0	0	0	0	0	0		49.5.1
	49.5	101	49.5	0	0	0	0	0	0		0
	0	49.5	101	49.5	0	0	0	0	0		0
	0	0	49.5	101	49.5	0	0	0	0		0
A	0	0	0	49.5	101	49.5	0	0	0	B	0


	0	0	0	0	49.5	101	49.5	0	0		0
	0	0	0	0	0	49.5	101	49.5	0		0
	0	0	0	0	0	0	49.5	101	49.5		0
	0	0	0	0	0	0	0	49.5	101		49.5.2

				0.921			1
				0.88
				0.874
				0.904				0.95
								0.95
z	A 1.B		z =	0.97			y
				1.075			ya( t )
				1.223			ya(t)	.	t	.	t
							ya(t)	0.69877e		0.27331e
								0.9
				1.421
				1.677
i 1.. 9 y0		1		yi	zi 1	y10	2
							0.85	0.85
j	0.. 10	x	1	0.2.j				1		0.8	0.6	0.4
j	0.. 10	x	1	0.2.j				1			x , t	0.2
		j

Пример 6.1. Решение простейшей задачи вариационного исчисления МКР

График экстремали показан на рисунке сплошной красной линией, он практически сливается с теоретическим решением – штриховой синей линией.

0		1	0		-1

1		0.921	1		-0.8

2		0.88	2		-0.6

3		0.874	3		-0.4

y =	4	0.904	x =	4	-0.2
y =		0.97	x =		0
5		0.97	5		0

6		1.075	6		0.2

7		1.223	7		0.4

8		1.421	8		0.6

9		1.677	9		0.8

10		2	10		1

2
1.5
y
ya( t)
1
0.5
1	0.5	0	0.5	1
		x,t

Численные методы 2. Метод Ритца

В методе Ритца решение вариационной задачи ищется в виде линейной комбинации известных, заданных заранее базисных функций. После подстановки такой линейной комбинации в функционал он становится функцией неизвестных коэффициентов. Коэффициенты подбираются так, чтобы функционал принимал экстремальное значение. Таким образом, вариационная задача сводится к задаче исследования на экстремум функции нескольких переменных. Линейная комбинация базисных функций должна удовлетворять граничным условиям при любых значениях коэффициентов.

Решить методом Ритца пример 2a для следующих базисных функций: линейную функцию, одну полуволну синуса и две полуволны синуса. Сравнить решение с аналитическим. Построить графики.

Будем искать решение в виде

y(x)= ϕ0 (x)+α1ϕ1(x)+α2ϕ2 (x) , где

(x)= y +

− y1

(x − x ) ;

ϕ (x)= sinπ

x − x1

;

(x)= sin 2π

x − x1

− x

Источник: https://studfile.net/preview/15721953/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология
00363
00601
01 (1)