Материал: Вариационные методы

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример 5.2 Продолжение

Введем четырехмерный вектор функций Лагранжа (по компоненте на каждое ограничение) и составим вспомогательный функционал:

Pcosθ

Psinθ

−

J = ∫

β + λx (x −Vx )+ λy

(y −Vy )+ λVx Vx

+ λVy Vy

m0 − βt

+ g dt

m0 − βt

Составим пять уравнений Эйлера (для каждой из оптимизируемых функций) и решим систему дифференциальных уравнений:

		&	= 0			λx		= c1
		λx	= 0			λy		= c2
		&	= 0			λy		= c2
		λy	= 0			λV = −c1t + c3
		− λ − λ		= 0		λV = −c1t + c3
		− λ − λ		= 0		x
			&			x
		x	Vx		λV = −c2t + c4
		x	Vx
			&	= 0			− c2t		+ c4
		− λy − λVy		= 0		y	− c2t		+ c4
						y
λ		sinθ − λ		cosθ = 0	tgθ =
λ		sinθ − λ		cosθ = 0	tgθ =			− c1t	+ c3
	Vx		Vy					− c1t	+ c3

Пример 5.2 Продолжение

Подставим в уравнений для оптимального угла начальное условие: при t=0, θ=90° (ракета стоит вертикально). Поэтому константа с3=0. Сократим дробь в правой части уравнения для угла управления тягой на -с1 и переобозначим постоянные:

~ ~

tgθ =

c2t − c4

, sinθ =

c2t − c4

, cosθ =

~ 2

~ ~

+ t

(c2t − c4 )

Подставим полученную оптимальную функцию управления вектором

тяги в уравнения движения:	θ (t, c2, c4)	atan c2	c4	.180


			t		π

x& = Vx , y& = Vy ,

(c t

)

m0 − β t

− c

+ t

c2t − c4

− g,

m0 − β t

(c t

− c

)

+ t

100

θ( t, 1, 10)

θ( t, 1, 15)

θ( t, 1, 20)

0	5	10	15	20
		t

Пример 5.2 Продолжение

Эти уравнения имеют сложное аналитическое решение. Произвольные постоянные можно найти из граничных условий – параметров орбиты спутника. Однако аналитически они не выражаются из точных решений для системы уравнений движения. Поэтому обычно используется численное решение системы уравнений.

Кроме того, при выведении реальной ракеты-носителя необходимо учитывать влияние атмосферы, изменение гравитации, изменение тяги с высотой полета, отделение ступеней и другие факторы.

Посмотрим программный комплекс оптимизации выведения трехступенчатой ракеты-носителя на орбиту максимальной энергии.

Численные методы

1.Метод конечных разностей (МКР)

ВМКР экстремаль аппроксимируется кусочно-линейной функцией. Варьируются ординаты y(x) в заданных точках, и функционал

становится функцией этих неизвестных ординат y1, y2, F . Рассмотрим применение МКР к вариационной задаче для интегрального

функционала. Разобьём интервал [a, b] на n участков одинаковой длины ∆x=(b-a)/n. Будем обозначать точки деления xk. Граничные точки в этом примере в дальнейшем будем обозначать x0 и xn. Функционал J будет равен сумме функционалов на отдельных участках Jk. Так как участки малые, применим для вычисления интегралов формулу касательных:

+ x

+ y

− y

k−1

= ∫F(x, y, y')dx = F

∆x

(6.1)

∆x

xk−1

Теперь исходный функционал будет функцией неизвестных ординат y1, y2, F, yn-1:

J(y1, y2 ,..., yn−1 )= ∑Jk

k=1

= ∆x∑

k=1

x − + x F k 1 k2

	y	k−1	+ y	k		y	k	− y	k−1
,		k−1		k	,		k		k−1	(6.2)
,					,			∆x		(6.2)
		2						∆x

Численные методы 1. Метод конечных разностей (МКР)

Значения y0 и yn известны – это заданные граничные условия. Для нахождения экстремума продифференцируем J по переменным y1, y2, F, yn-1, приравняем производные нулю и решим полученную систему уравнений. При вычислении ∂J/ ∂yk учтём, что от yk зависят только два слагаемых: Jk и Jk+1.

∂J	=	∂Jk +	∂Jk+1 =	(6.3)
∂yk
		∂yk	∂yk

k−1

+ x

k−1

+ y

− y

k−1

∆x

= F

+ F

∆x

+ x

k+1

+ y

k+1

− y

∆x

+ F

− F

∆x

k−1

+ x

k−1

+ y

− y

k−1

∆x

xk + xk+1

yk + yk+1

yk+1 − yk

∆x

Источник: https://studfile.net/preview/15721953/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
'Заповит' Рейнгольда Глиэра: стилистические особенности
'Создание и продвижение интернет - платформы реферальной системы' на примере компании Бартер–кард
[БИЛЕТЫ] IMK №3
[ТЕСТЫ] ИМК №1 по физиологии (база 1 семестр и на экз)
[ТЕСТЫ] Спланхнология
00363
00601
01 (1)