Материал: Вариационные методы
Пример 5.2 Задача об оптимальном выведении на орбиту спутника Земли
Рассмотрим задачу об оптимальном по расходу топлива выведении спутника на заданную орбиту Земли. Введем следующие допущения:
1.Двигатель работает без выключения, тяга постоянна, ракета одноступенчатая. Тогда закон изменения массы ракеты можно записать:
m(t)= mo − β t
где m0 - стартовая масса ракетоносителя, β=P/c - секундный расход топлива, P - тяга двигателей, с – скорость истечения топлива.
2.Движение будем рассматривать в плоскопараллельном гравитационном поле, т.е. считать g=const .
3.Сопротивление воздуха отсутствует, траектория выведения плоская.
Пример 5.2 Продолжение
В этой постановке задачу оптимизации можно рассматривать, как задачу минимизации функционала
tk
J = ∫β dt → min ,
t0
при выполнении следующих дифференциальных условий (уравнения движения):
x& = Vx , y& = Vy ,
V& |
|
P |
||
= |
|
|
cosυ, |
|
|
||||
x |
|
m − β t |
||
|
|
0 |
|
|
V& |
|
P |
||
= |
|
|
sinυ − g, |
|
|
|
|||
y |
|
m − β t |
||
|
|
0 |
|
|
Самарский государственный аэрокосмический университет
Лекция 6.
Задача на условный экстремум. Численные методы решения вариационных задач
О. Л. Старинова
Кафедра Космического машиностроения |
2015 г. |
Пример 5.2 Задача об оптимальном выведении на орбиту спутника Земли
Рассмотрим задачу об оптимальном по расходу топлива выведении спутника на заданную орбиту Земли. Введем следующие допущения: 1. Двигатель работает без выключения, тяга постоянна, ракета одноступенчатая. Тогда закон изменения массы ракеты можно записать:
m(t)= mo − β t
где m0 - стартовая масса ракетоносителя, β=P/c - секундный расход топлива, P - тяга двигателей, с – скорость истечения топлива.
2.Движение будем рассматривать в плоскопараллельном гравитационном поле, т.е. считать g=const .
3.Сопротивление воздуха отсутствует, траектория выведения плоская.
Пример 5.2 Продолжение
В этой постановке задачу оптимизации можно рассматривать, как задачу минимизации функционала
tk
J = ∫β dt → min ,
t0
при выполнении следующих дифференциальных условий (уравнения движения):
x& = Vx , y& = Vy ,
V&x = m0 −Pβ t cosθ,
V&y = m0 −Pβ t sinθ − g,