Материал: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

Выше мы рассмотрели электронный слой, примыкающий к ка­ тоду; неустойчивость в нем проявляется при образовании электрон­ ной волны, синхронной с электронами у внешней, «свободной», гра­ ницы слоя. Если слой имеет две свободные границы, удаленные от

тогда электроды практически не влияют на возмущенное поле и в фор­ мулах (II 1.42) можно заменить sh (s — s6) на es и sh (s — sD) на e _ s . Ставя граничные условия при s = s0 и s = sd, получаем характерис­ тическое уравнение

аналогичное уравнению (III.49): при больших отрицательных s0 оно имеет тот же корень (III.50), при больших положительных sd — ана­ логичный корень, соответствующий электронной волне, синхронной с электронами вблизи нижней границы. Эти корни получаются при больших значениях hd, при которых возмущения на верхней и ниж­ ней границах слоя не взаимодействую^, а, как можно показать, взаи­ модействуют возмущения на одной границе с возмущениями в соот­ ветствующем резонансном слое (III.28). При малых и конечных значе­ ниях hd (тонкий пучок или длинноволновые возмущения), как мы увидим ниже, возникает неустойчивость другого типа, обусловленная

в которое константы Ьа и Ьі не входят. Решение этого уравнения приводит к комплексным .частотам

290

зуется тогда, когда искривление верхней и нижней границ электрон­ ного слоя происходит в фазе, т. е. это есть неустойчивость по отноше­ нию к волне изгиба. Дл я пучка, примыкающего к катоду, волны изгиба невозможны; чтобы они существовали, необходимы две свобод­ ные поверхности.

Неустойчивости, рассмотренные выше, обусловлены изменением невозмущенной скорости электронов по толщине пучка и называются

Для электронного слоя, примыкающего к катоду, в этом прибли­ жении неустойчивость не возникает; для слоя с двумя свободными границами получается выражение

отрицательно, слой неустойчив. При hd <^ 1 и QQ — Q выражение (II 1.69) переходит в выражение (II 1.66), хотя области применимости этих выражений — разные.

Результаты, полученные в приложении I I , показывают, что орби­ тальное движение электронов в плотных электронных образованиях — в прикатодном слое запертого магнетрона или в электронных языч­ ках генерирующего магнетрона — приводит к сильной неустойчи­ вости этих образований, в силу чего они фактически не реализуются, а вместо них образуются электронные потоки с небольшим орбиталь­ ным движением, накладывающимся на дрейф. Однако эти новые элект­ ронные образования, в которых траектории электронов мало отли­ чаются от эквипотенциалей, также являются неустойчивыми вслед­ ствие того, что в них соседние электронные слои скользят друг отно­ сительно друга так же, как в рассмотренном выше плоскопараллель­ ном слое. Развитие этих неустойчивостей в пространстве и во времени и создает нерегулярные колебания, накладывающиеся на стационар­ ный режим генерации. Вместе с тем, различие в скоростях соседних электронов благодаря развитию неустойчивостей может до известной степени сглаживаться, как на рис. II . 2 .

Формула (III.69) показывает, что величина Imco пропорциональна величине Q о. определяющей изменение стационарной скорости элект­ ронов по толщине пучка,, т. е. скольжение элементарных электронных слоев. При увеличении магнитного поля или уменьшении плотности заряда величины Q0 и Imco уменьшаются, но неустойчивость сохра­ няется.

П р и л о ж е н и е IV

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ, ДВИЖУЩИХСЯ С РАЗЛИЧНЫМИ СКОРОСТЯМИ

Во всех электронных приборах электроны взаимодействуют друг с другом, и это взаимодействие определяет все свойства приборов. Поскольку взаимодействие электронов осуществляется посредством создаваемого ими поля, то даже их взаимодействие с синхронным полем резонатора или волновода можно свести, в конце концов, к взаимодей­ ствию (запаздывающему) электронов друг с другом. Однако обычно так не делают, и взаимодействие электронов с синхронным полем рас­ сматривают отдельно по той простой причине, что это — главное в ра­ боте прибора. Поэтому под взаимодействием электронов понимают, как правило, нерезонансное взаимодействие посредством поля про­ странственного заряда.

Это взаимодействие проявляется во всех электронных приборах, а также в плазме, где ряд явлений, вызываемых этим взаимодейст­ вием, изучен достаточно подробно. В данном приложении будут рас­ смотрены следующие вопросы:

1) формальный вывод кинетического уравнения для заряженных частиц;

2) затухание Ландау и неустойчивости при наличии двух или нескольких электронных потоков, их физическая интерпретация, а также сравнение с неустойчивостью, имеющей место в лампе с бегу­ щей волной;

3) условие применимости кинетического уравнения, равенство действующего поля среднему и возможности моделирования элект­ ронного облака.

Начнем с вывода кинетического уравнения для системы, характе­ ризуемой функцией распределения

/ (t, г, v) = / (t; х, у, г\ vx, v„, v2 ),

т. е. содержащей столь большое число частиц, что можно применять

dr dv = dx dy dz dvx dvy dvz

фазового пространства. По определению функции / число точек в эле­ менте фазового пространства равно

«физически бесконечно малыми», т. е. они настолько малы, что функ­

и скорости которых лежат в элементе drdv, должно быть достаточно большим.

Пусть электроны (или другие частицы) движутся согласно урав­

Эти уравнения определяют движение точек, соответствующих час­ тицам, в фазовом пространстве: скорость движения этих точек есть вектор с составляющими х, у, z, v x , v y , v z , дивергенция этой шести­ мерной скорости

обращается в нуль согласно уравнениям движения. Поэтому точки движутся как частицы шестимерной «несжимаемой жидкости», и элемент фазового объема drdv, соответствующий данной совокупности

С другой стороны, число точек fdrdv в этом элементе объема также сохраняется, если этот элемент движется вместе с точками, а точки движутся в соответствии с движением реальных частиц. Поэтому

-±(fdrdv)=--0

и в силу сохранения фазового объема мы имеем

dt