Документ: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике, страницы 316-320

Выписывая явно полную производную во времени, получим в коорди натном представлении кинетическое уравнение

df	df	df	df	Fx	df	Fy	df	Fz	df
— +	Vj.	r-v„	\-vz	1		1	• -\|		= 0,
dt	dx	dy	dz	m	dvx	m	дчу	m	dwz
	например, x						Fx
в котором,	например, x		заменено	на v*,		a v ,	— на		согласно урав

нениям, выписанным выше. Более краткая векторная запись того же уравнения имеет вид

^	+ v i	+ l	i = 0.	(IV.01)
dt	dr	т	dv

Как мы видим, это уравнение является следствием сохранения фазового объема drdv при движении. Фазовый объем, как можно показать, сохраняется и при релятивистских уравнениях движения, если его определять как drdp, где

— обобщенный импульс частиц, А — векторный потенциал. Фазо вый объем не сохраняется, если имеются диссипативные силы, на пример, если в правой части уравнения для \ х имеется член—г)уж ;

тогда ^	= —41=7^0. Сила	радиационного торможения, входящая
в правую	часть (1.08), также	является	диссипативной силой, подоб
ной силе	трения.
Вывод уравнения (IV.01) является			вполне строгим, если частицы

не взаимодействуют и движутся во внешнем поле, которое на них действует с силой F . Заряженные частицы, разумеется, взаимодейст вуют друг с другом, причем двояким образом: они создают дополни тельные токи и заряды, сглаженные плотности которых определяются формулами (1.10), и, следовательно, дополнительное электромагнит ное поле, накладывающееся на поле, создаваемое внешними источни ками, и, кроме того, взаимодействуют друг с другом при сближении на расстояния, малые по сравнению со средним расстоянием между частицами. Такое «индивидуальное» взаимодействие частиц носит характер столкновений (соударений) между частицами или же харак тер флюктуации, накладывающихся на сглаженные поля. Мы qbopмально распространяем уравнение (IV.01) на заряженные частицы, понимая под F силу, обусловленную суммарным электромагнитным полем, и пренебрегая индивидуальным взаимодействием частиц. В конце данного приложения мы вернемся к вопросу о законности такого подхода, сводящегося к рассмотрению совокупности заря женных частиц как некоторого «идеального газа» в усредненном поле. Сейчас только отметим, что учет индивидуального взаимодей ствия частиц важен для исследования того, как система приближается

к состоянию статистического равновесия. Так, учет соударений моле кул в кинетической теории газов позволяет вывести закон возрастания энтропии и уравнения гидродинамики (газодинамики); состояние равновесия характеризуется законом распределения Максвелла — Больцмана. В сверхвысокочастотной электронике рассматриваемые электронные потоки обычно весьма и весьма далеки от состояния статистического равновесия, а время пролета электронов через прибор, как правило, мало по сравнению с эффективным временем соударений (или, что то же самое, размеры приборов малы по сравнению с эф фективной длиной свободного пробега электронов). Поэтому индиви дуальное взаимодействие частиц в сверхвысокочастотной электронике не учитывается, а при теоретическом анализе принимаются во вни мание только коллективные взаимодействия, обусловленные сгла женными полями.

Специфические черты коллективного взаимодействия электронов, имеющих различные скорости, были первоначально обнаружены при исследовании колебаний в плазме. Так было найдено «затухание Ландау», которое при некоторых условиях может изменить знак, и тогда данная электронная система будет неустойчивой — способной усиливать или генерировать колебания.

Рассмотрим плоские волны в бесконечной однородной плазме. При этом ограничимся, во-первых, достаточно высокими частотами, при которых ионы можно считать неподвижными и учитывать лишь колебания электронов, и, во-вторых, линейной теорией, т. е. будем считать электрическое поле волн и возмущение функции распределения достаточно малыми. Без ограничения общности будем также считать,

что волны распространяются			по оси г,			так что кинетическое				уравнение
(IV.01) принимает	вид
df	df	Fx	df	—	Fu	df	Fz	df		(IV.02)
— +	v z — +	—	— H	—	-	—	+ —	—	= 0 .	(IV.02)
dt	dz	m	dvx		m	dvy	m	dvz

Плоские волны, распространяющиеся по оси z, от х и у не зави сят; они могут быть как поперечными, так и продольными. Для про дольных волн

^ = ^ = 0, Fz=eEz=-ed-^,

(IV. 03)

где Ф = Ф (t, z) — потенциал продольного электрического поля, удовлетворяющий уравнению Пуассона

^ - = -4ne(\fdv-N),

(IV.04)

в соответствии с первой формулой (1.10); —eN > 0 есть постоянная объемная плотность заряда, обусловленного ионами. В формулах (IV.02) и (IV.04)

f,-f(t,z;vx,vy,vz),

(IV.05

и если

ввести

новую

функцию

оо

f (t,

г,

v) =

\ \ f (t, z\

vx,

v„, vz ) dvxd\ryi

v =

vz ,

(IV.06)

ОС

то для

нее будем

иметь

уравнение

^

+

, i L

_ J

L

^

i L

= 0 )

(IV.07)

dt

dz

m

dz

dv

которое

является

нелинейным,

поскольку

потенциал

Ф сам

зависит

от f согласно уравнению (IV.04).

Положим

теперь

оо

f = f°(v)+f1(t,z,v),

$

f>dv =

N.

(IV.08)

— 00

где N — число электронов на единицу объема (их заряд при отсут ствии возмущений полностью скомпенсирован ионами, см. выше).

Пренебрегая	произведением			^	получаем систему		линейных
уравнений
df1	. dp-	е	<ЗФ dfo		Л
—	+ v -к		•	— = 0,
dt	dz	т	dz	dv	ОО
					ОО
			—	=	~4ле \	pdv.	(IV.09)
			^		-	V

Первоначально к решению этой системы подходили формально, с позиций «подстановочного анализа», а именно искали частное реше ние этой системы, имеющее вид

z, t)) = R e { g ( u ) e ' ( t e - m f ) } , Ф 0 , z) = Re {Ф0е* <**-«<>}. (IV. 10)

где g (v) — неизвестная функция продольной скорости, а Ф 0 — по стоянная, связанная в силу второго уравнения (IV.09) с g (v) со отношением

оо

ф о = ї	$ S(v)dv.	(IV. 11)
А *	-00

Первое уравнение (IV.09) принимает вид

i(hv~oo)g(o) — -L/Л ф 0 ^ = 0.

(IV. 12)

Оно показывает, что частное решение в виде (IV. 10) существует только, если функция g (v) имеет вполне определенный вид, а именно

dfo °о

g(v) = ^

g(v)dv.

(IV. 13)

hV — 0) J

—оо

В частности, если обе величины со и h вещественны, то функция g (v) обращается в бесконечность при v — a>/h (т. е. при скорости электро нов, равной фазовой скорости данной плоской волны), а тогда, во-

оо

первых, интеграл J g (о) dv, строго говоря, не имеет смысла, а, во-

— оо

вторых, функцию f1 нельзя считать малой и при линеаризации пренебрегать произведением ^ - ^ - или, что то же, произведением шФ0

Поэтому при вещественном волновом числе h следует частоту со считать комплексной, а при вещественной частоте со считать комплекс ным h. Зависимость между с* и h (характеристическое уравнение) при указанных выше ограничениях получается путем интегрирова ния соотношения (IV. 13) по и в виде

г*

и

{ v )

4 я е 2

і

dv=\.

(IV.14)

mh

J

hv — со

—oo

Вводя нормированное

распределение

скоростей

N

плазменную частоту

(IV. 16)

и

обозначение

и =

и' — ш " = — ,

(IV. 17)

h

можно переписать уравнение (IV. 14)

в

виде

J ^

d

v

=

\,

u p

= ^ .

(WAS)

v-—u

1

h

—oo

В простейшем случае, когда скорости

электронов

распределены

по

Максвеллу,

мы

имеем

с р ( у ) = — L - e ~ ^ ,

t»0

=

i X " — ,

(IV. 19)

У2я

vQ

V

т

где k — постоянная

Больцмана, Т — электронная температура, v0

—

средняя квадратичная скорость

электронов

(ср.

с величиной [ о]

в

задаче 1 к 1-й

лекции).

Используя

тождество

1

v—и'—iu"

V —и'4-ій"

(и — и ' ) 2 + (и")2

легко отделяем в уравнении (IV. 18) вещественную часть от мнимой и приходим к двум вещественным уравнениям

°°	dw	<»	d®	(V)
Г	(v-u')-f(v)		-f	(V)

"•І	\	~—dv	= \, и" \	dv=0	(IV.20)
P	J	(v — « ' ) 2 + ( " " ) 2	J	(V — u ' ) 2 + ("")2

для двух неизвестных u' и u", если волновое число h задано и веще ственно. Легко видеть, что при и"фО система уравнений (IV.20) решений не имеет, так как в силу второго уравнения (IV.20) первое принимает вид

оо

_ Л І

«р

dv=

p—

\ —

~

dv=l,

и мы видим, что

существенно

отрицательная

величина

положитель

ной (единице) равна быть не может. Если же считать, что и"

=

0, то

возникают трудности, о которых говорилось после формулы

(IV. 13);

кроме того, при

и" = 0 переход

от формулы (IV.12) к формуле

(IV. 13)

неоднозначен, поскольку

в правой части (IV. 13) можно еще

написать

слагаемое

F (со, К) б (v

—

и), где F — произвольная функция;

тогда

уравнение

(IV. 12)

все

же удовлетворится,

а

применение

к

(IV. 13)

интегрирования

по

v

(если

его

произвести,

например,

в

смысле

главного значения

Коши)

вообще

не

дает какой-либо

связи

между

со и h, т. е. в данной задаче характеристического уравнения в том смысле,' как мы его пытались ввести выше, вообще не существует.

Положение не изменяется, если первое уравнение (IV.09) за менить уравнением

%. + v%-~L		ff=~vf>,	(IV.21)
at	dz	m dz dv

где правая часть учитывает соударения (обычно соударения электронов

с ионами), v > 0 — эффективная			частота		соударений. В этом случае
формулы	(IV. 12) — (IV. 14)	останутся в			силе, если со заменить на
со + iv,	а в формулах (IV. 18) — (IV.20)				положить
		,	. „	со +	f v
	и —и—ш			=	,
				h
и подстановочный анализ по-прежнему не приводит к цели.
На недопустимость подобного формального подхода к решению
кинетического уравнения		впервые		указал Л. Д . Ландау, который

дал корректное решение задачи Коши для системы (IV.09), а именно

решил	ее	при		начальных условиях
		f1	(0, z, v) = Re {g (v) e'f t z }, Ф (0, z) =		Re {Ф0 e'"2 },
где Ф 0	и	g	(v)	связаны соотношением (IV. 11).	Полученное решение

(см. ниже) показывает, что при заданном вещественном волновом числе h формула

Ф(*. г) = Re {ф2 е < ( л г - ш . 0} + ...

(IV.22)

Материал: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

Смотрите также: