Материал: Вайнштейн Л.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

причем		І/і \| т	а ж = 2^(1,84) =		1,16.

В рассматриваемом приближении				всегда	\| / t \| < l , 1	6 ; большие	зна
чения	І І можно	получить,	рассматривая высшие гармоники в разло
жении	Ф по и0.	максимума	первой	гармоники тока		определяет	опти
Положение

мальную длину пространства дрейфа; соответствующее значение пере менной С равно

	max
£ 0 D i =	Г	, d B	(VII.29)
	о

иего можно найти путем численного интегрирования. Однако в случае

В< Bh, когда в пучке происходят нелинейные колебания, можно

общее решение уравнения				(VI 1.16)			в первом приближении				записать
в виде
			B = B1cosvt			+ B2sinv^,					(VII.30)
считая нелинейность силы Q малой. Частота v определяется											формулой
			1	С	Q(В2sinгр)sinipdip,						(VII.31)
			лВ2	о
				о
а в силу	начальных		условий		(VI 1.04)
			5 1 =	0,	B2		= K/V.				(VI 1.32)
Формулу		(VII.31) легко			вывести,			следуя	путем,	намеченным
в задаче 4 ко 2-й лекции; для					5 4	и Вг		получаем усредненные урав
нения
		=	—G(B1		cos vt,		+ B2	sin vQ sin v£,
		dt,
		dB	G {B1	cos v£ +			B% sin vQ cos v£,
			G(B) = vB				—
Полагая	B 4	равной	нулю, а		В 2		константе,		приходим	к	формуле
(VII.31).

Ограничимся для простоты кубичным членом в выражении для силы (VI 1.22)

Q(B) = B+4B*,	Y = Y 4 - f ^ '	( V I L 3 3 )
		( V I L 3 3 )

что можно сделать при В <		1 и		k ^ \ .	Формулы (VII.31)			и (VII.33)
дают
	v 2 = l + A T B \| = l + - ^ f .							(VII.34)
Решая	биквадратное уравнение		для частоты			v,	получаем	выражение
	v = j /	1 +	/ I + _ 3 Y X 2			_ > 1	)	;( VII.35>
определяющее нелинейную		зависимость			безразмерной			плазменной
частоты	от начальной модуляции			пучка. Отсюда
		£ o p «		= - f -				(VII.36)
и
		S m a x = — •						( V I L 3 7 )
				V

Мы видим, что с ростом амплитуды начальной модуляции электрон ного пучка оптимальная длина пространства дрейфа и соответствую

щее значение Втах уменьшаются, по крайней мере при В <	1.
Заметим, что мы дважды применяли прием, свойственный теории
нелинейных колебаний, а именно представляли функцию	т> в виде
(VI 1.06) и функцию В — в виде (VI 1.30).
Такие представления дают хорошую точность, если функции
действительно близки к гармоническим, однако и при значительном

отличии колебаний от гармонических интегральные величины (час тота колебаний, амплитуда и т.д.) определяются, как правило, удов летворительно.

	Перейдем теперь к лампе с бегущей волной. При учете синхрон
ной	волны на основной частоте		уравнение движения		принимает^вид
	д*и	=\F\cos(u~a)	+ f	(и = ы0 +	Ф),	(VII.38)
где	использовано	обозначение	(7.58). При	постоянных		значениях
\F\	и а уравнение	(VII.38) аналогично уравнению (VII.01),				но имеет

более сложную правую часть; это — уравнение одномерного движения частицы в некотором потенциальном поле, не зависящем от времени (см. 7-ю лекцию), для исследования этого движения применимы методы теории нелинейных колебаний. Если же \F \ и а зависят от £, то без размерная сила, обусловленная синхронной волной, также зависит от £. В обоих случаях представление Ф в виде (VII.06) является ра циональным, по крайней мере при умеренной модуляции пучка по плотности и току, когда электроны не собираются в слишком плотные сгустки.

Воспользуемся опять законами сохранения (при малых значе

ниях	параметра усиления	е),	учитывая только одну синхронную
волну	на основной частоте (п	=	1) и пренебрегая потерями в замедляю-

щей системе. Тогда соотношения (VI. 10), (VI.21) и (VI.31), являю щиеся прямыми следствиями уравнения движения (VI 1.38) и не опи рающиеся на уравнение возбуждения, принимают вид

д2и

- - R e ( F / * ) ,

К*

dl*

(VI 1.39)

а третье уравнение есть уравнение

(VII.11). Применяя приближенное

представление

(VII.06) для функции 0,

получаем

уравнения

d2®

(B)|F|cos (d — p —a),

(VI 1.40)

dt2

\ 2

+ 7 dt,

2 \

dl I

2J{ (B) \ F \ —

sin(t> — p—а)

+ 2 Л (B)\F

d ± _ _ « l ) c o s

(o_p-a)

(VII.41)

уравнение

(VI1.13),

которые

определяют

движение

электронов

в заданном

поле синхронной

волны; мы положили

о\ — о 2 .

Учитывая уравнения возбуждения (7.14) или (7.59) и начальные

условия

(VI .07),

можно

использовать

окончательные

законы со

хранения

(VI.14)

и (VI.29),

которые

вместо

соотношений (VII.40)

(VI 1.41)

дают соотношения

F\2 — \ ДІ	(VII.42)

							I	12 — I Л		(VI 1.43)
										(VI 1.43)
уже	в проинтегрированном				виде. Через ср обозначена величина
			ф	=	3		— P — a - f я,			(VII.44)
которая при J і (В) > 0 есть						разность фаз между			первой	гармоникой
тока	и синхронным		полем,		а при J І (В) < 0 отличается					от этой раз
ности на я . При Ji			(В) =	0 величина ф непрерывна, поскольку фаза
тока испытывает скачок на я							(см. 7-ю лекцию).
Переходя		от функции			а		к функции ф, мы		вместо	уравнений
{7.59)	получаем	уравнения
			d \| f \|			- ~2J1(B)cosq>,				(VII.45)
			dl
		dtp						F\ = 2J1(B)	sin ф,
		dl	dl		dl			F\ = 2J1(B)	sin ф,
							T	b

которые вместе с уравнениями (VII.42), (VII.43) и (VII.13) дают

систему пяти уравнений	для пяти функций ft, В, р,	\| F \| и ф. При этом
функции Н и р входят	в систему только в виде	производных — и

	dt,
которые, пользуясь уравнениями (VII.13) и (VII.42), легко выра
зить	через функции В и \| F \|. Таким путем мы приходим к системе
трех	нелинейных уравнений первого порядка для функций В, \| F\ и ф.

Эту систему уже приходится решать численно, причем объем вычис лительной работы оказывается неизмеримо меньшим, чем при реше нии исходных нелинейных уравнений, сформулированных в 7-й

лекции. Вместе с тем, получаемые численные результаты	близки;
это означает, что представление функции 11 в виде (VI 1.06)	является
правомерным.
Возможно ли дальнейшее понижение порядка полученной сис
темы нелинейных уравнений? В общем случае этого сделать	нельзя,

так как соответствующая система линейных уравнений имеет третий порядок и характеристическое уравнение (6.75) — кубическое. Од нако, как показано в задаче 10 к 6-й лекции, при большом параметре пространственного заряда о кубическое характеристическое уравне ние сводится к квадратному, поскольку экспоненциально нарастаю щая электронная волна возникает в результате взаимодействия синх ронной волны с медленной волной пространственного заряда. Поэ тому при сильном пространственном заряде можно получить систему нелинейных уравнений второго порядка, что позволяет рассмотреть поведение фазовых траекторий на плоскости. Соответствующее преоб

разование приводит к необходимости изменить	начальные условия
(для системы 2-го порядка только две функции	вначале можно зада

вать произвольно) и дает возможность при дополнительных ограни чениях получить аналитическое решение. Однако мы не будем здесь излагать нелинейную теорию, опирающуюся на систему второго порядка.

Метод, примененный в данном приложении, и метод усреднения, изложенный в 4-й лекции, имеют много общих черт: и там и здесь функция, определяющая движение, представляется в определенном виде [ср. формулы (4.07) и (VII.06)] и для параметров, входящих в это представление, получены уравнения — более простые, чем исходные уравнения движения. Если мы вместо формулы (VII.06)

возьмем полный ряд Фурье
О =Ъ (Q + 2 Вп (Q sin п [и0 + р „ (S)],	(VI 1.46)
л = 1

то каждый член ряда можно интерпретировать как некоторое колеба ние (или волну) в электронном потоке. При малых Вп эти колебания не взаимодействуют, при увеличении Вп появляется нелинейное взаи модействие между ними. Исходя из ряда (VI 1.46), можно путем чис ленного интегрирования уравнений для ft, Вп и рг е найти точное реше-

ниє исходных нелинейных уравнений. При этом оказывается, что прак тически точные результаты получаются, если в ряду (VI 1.46) взять. всего 3—4 гармоники.

	С П И С ОК ЛИТЕРАТУРЫ К П Р И Л О Ж Е Н И Ю V I I
1.	В. Т. О в ч а р о в,	В.	А. С о л н ц е в .	Упрощенные нелинейные	у р а в
	нения лампы с бегущей		волной. «Радиотехника и электроника», 1962,		т. 7,
	№ 11, стр. 1931 — 1940.
2.	В. Т. О в ч а р о в,	В.	А. С о л н ц е в - .	Применение упрощенных нелиней
	ных уравнений для расчета ламп типа О. «Радиотехника и электроника»,,
	1962, т. 7, № 12, стр. 2013—2023.
3.	В. А. С о л н ц е в.	Двухволновое приближение в нелинейной теории ЛБВ..

«Вопросы радиоэлектроники», сер. 1, Электроника, 1965, № 2, стр. 3—14.

4.В. А. С о л н ц е в. Упрощенная нелинейная теория ЛБВ и ЛОВ в двухволновом приближении. «Вопросы радиоэлектроники», сер. 1, Электроника, 1965, № 4, стр. 5—15, 16—29.

5.В. А. С о л н ц е в . Воздействие внешнего сигнала на ЛОВ при большом» параметре пространственного заряда. «Электронная техника», сер. 1. Элек троника СВЧ, 1966, № 9, стр. 30—42.

6.Г. Н. В а т с о н. Теория бесселевых функций. Изд-во иностранной лите

ратуры, 1949 (гл. X V I I ) .

7. Г. Г. М ч е д л и д з е, В. А. С о л н ц е в . Волновой метод решения не линейных уравнений Л Б В . «Радиотехника и электроника», 1972, т. 17, № Ш, стр. 2227—2230.

Источник: https://tut-files.ru/previewfile/127231

Смотрите также:



17. Введение 18. Линейные программы 19. Ветвления 20. Программирование циклических алгоритмов
Анализ эффективности инвестиций предприятия на примере ООО «СпецПримСтрой»
Сборные железобетонные ребристые плиты перекрытия
_-___-~1
_3 тема - Диффузия
_Роджерс Карл, Брак и его альтернативы
_Штерн Вильям, Дифференциальная психология и ее методические основы
- Описание типа СЭТ7009