Армянский государственный педагогический университет имени Хачатура Абовяна
Внешние и внутренние проявления прекрасного в процессе обучения математике
Микаелян Гамлет Суренович, доктор педагогических наук,
кандидат физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой математики
и методики ее преподавания,
Республика Армения
Аннотация
Показано, что как в математике, так и в процессе ее преподавания широко проявляются внешнее и внутреннее проявления прекрасного, связанные соответственно с формами и содержанием математических объектов.
Акцентировано внимание на том, что если в самой математике преобладают внутренние проявления прекрасного, то в процессе обучения на первом плане выступает внешняя сторона прекрасного.
Ключевые слова: внешнее прекрасное; внутреннее прекрасное; признаки математического прекрасного; окружность; треугольник; четырехугольник:.
Постановка проблемы
Как в нашей повседневной жизни, так и в различных сферах человеческой жизнедеятельности прекрасное проявляется в первую очередь в внешней форме предметов и явлений.
Внешнее проявление мажематического прекрасного, обычно, отождествляется с эстетикой внешнего вида математических объектов, и так как существует два вида внешнего проявления математических объектов (аналитический и геометрический), то естественным считается отличать форму математической записи от геометрических форм внешней эстетики математики.
Необходимо отметить, что метод координат, созданный Декартом, дает возможность представить один и тот же математический объект аналитическими и геометрическими формами, и внешнее прекрасное может остаться незамеченным в одной форме представления объекта, а в другой может быть очевидным.
Подобным образом, к примеру, аналитическим способом заданная четная функция графически представлена в виде симметричной кривой по отношению к оси ординат, а нечетная функция - по отношению к точке начала координат, что придает им внешнюю эстетическую привлекательность.
Подобным образом периодическая функция графически представляется в виде кривой с постоянно повторяющимися частями, что является признаком ритма и придает ей эстетическую привлекательность.
Гладкость прямой или поверхности, - являющаяся признаком эстетической привлекательности, - выражает свойство дифференцируемости соответствующей функции, на что в ее аналитическом выражении не указывает ни один эстетический элемент. То же самое можно сказать о понятиях непрерывности, изогнутости и тому подобного. Заметим также, что математическая запись закономерностей физики, химии и других естественных наук - их форма, внешняя сторона способствует выявлению их сущности, внутренней структуры в рамках науки, исследующей эти закономерности.
Анализ последних исследований и публикаций. Индикаторами выявлений внешнего прекрасного математических объектов могут служить признаки математического прекрасного [1-2]. С точки зрения геометрических форм, в качестве таких признаков могут выступать симметрии и сравнения линий, фигур или тел, в частности, золотое сечение, ритм, гармония и т.д.
Что касается аналитической записи формул или математических выражений, то заметим, что внешний вид, форма каждого предмета, явления призваны выражать их сущность и естественно считать прекрасным ту из различных записей одного и того же объекта, которая более всего способствует восприятию сущности объекта, пониманию процесса. С этой точки зрения, в качестве внешних признаков математического прекрасного можно принимать четкость, ясность, простату, применяемость и т.д.
Четкость математики, ее языка - однозначное, далекое от неопределенностей представление понятий и связанных с ними суждений, чего часто достигает математика благодаря использованию чрезвычайно большого количества символов. Однако, большое количество символов иногда мешает восприятию сущности математического материала. И в этом математика достигает простоты и ясности посредством специальных приемов и определенных упрощений.
Изложение основного материала исследования
Внешние и внутренние проявления математического прекрасного появляются во всем процессе обучения математике. И если в самой математике преобладают внутренние проявления прекрасного, то в процессе обучения на первый план выступает также внешняя сторона прекрасного.
Следует заметить, что внешняя эстетика математики расширяется, если в учебный материал включаются вопросы, связанные с симметрией, сравнением, золотым сечением, ритмом и гармонией. К сожалению, общеобразовательные программы по математике и учебники, написанные на их основе, не сопровождаются решением этих вопросов, обусловливающих внешнее прекрасное.
Заметим, что эстетика геометрических форм и ее влияние на учащихся, в первую очередь, обусловлена их эстетическим или точным представлением. Если в преподаваемом материале речь идет об окружности, то начертание на доске непривлекательной кривой, напоминающей окружность, не может привлекать, притягивать ученика.
Я помню, как когда-то наш преподаватель практических уроков геометрии - заслуженный педагог Геворг Карагебакян, прямо на первом занятии смог покорить мысли и сердца своих учеников, мастерски изобразив на доске идеальную окружность. После этого долгое время на всех переменах мы пытались научиться чертежному мастерству нашего преподавателя посредством постоянных попыток, а на его очередных уроках с нетерпением ждали его прекрасные окружности, которые появлялись на доске с помощью сочетания превосходных поворотов его руки и кисти.
Культура графического представления зависимостей также находится в рамках решения этой же задачи. Опыт показывает, что подавляющее большинство учителей не подходят с необходимой ответственностью к задаче их представления. Графики строятся неряшливо, не принимается в расчет то, что оси координат имеют одну и ту же единицу измерения, не уделяется внимания вопросу относительно правильного представления точек пересечения с ними графиков функций и т.д. В результате, с одной стороны получаются фигуры, далекие от эстетических требований, а, с другой стороны, полученные фигуры не дают возможности ответить на те вопросы, для нахождения ответов на которые и строятся эти фигуры. Один из учителей с большим опытом работы, например, на нашем научно-методическом семинаре, строя график функции у=Бт2х не только не сохранил приблизительные пропорции чисел п и 1, а также п и п/2.
Внутренние проявления прекрасного. Помимо внешних форм предметов и явлений, прекрасное проявляется также в их внутренних структурах и содержаниях, в связях их внутренних частей, взаимоотношений с другими объектами и внешним миром. Французский философ И. Тэн обусловливает прекрасное с содержанием предмета, и, исходя из этого, видит цель искусства в выявлении признаков и внутренних закономерностей этих предметов и явлений, взаимоотношений между их частями [3]. Если взглянем с той же точки зрения также на научные явления, то, естественно, присутствующие в них внутренние закономерности также глубокие и, несомненно, имеют некую эстетическую привлекательность.
Однако, их знание, обычно, требует профессиональных навыков и соответствующей подготовки. Они недоступны непрофессионалам, которым непонятна, к примеру, самозабвенная работа математика с «черствыми» цифрами и формулами, работа, одним из важнейших стимулов осуществления которой - прекрасное, находящееся в ней, которое основывается также на внутренние закономерности явлений.
Внутреннее прекрасное проявляются в содержании математических объектов и выражается в общей архитектуре математики, составляющих ее понятий, взаимоотношений между ними: теорем и их доказательств, методов познания, применении математического языка, фактов и методов в различных областях науки. Необходимо заметить, что, в отличие от внешнего проявления, внутреннее проявление математического прекрасного видно не сразу, оно спрятано в глубине математического явления, требует определенных усилий для выявления, восприятия и понимания. В свою очередь, эти усилия, как субъективные признаки математического прекрасного, делают математический объект более прекрасным.
В случае с понятиями, внутреннее прекрасное выражается в объеме и содержании, родовой и видовой принадлежности, свойствах понятий, возможности их применения в различных областях науки.
Внутреннее прекрасное широко применяется в математических теоремах, которые выражают свойства математических понятий, присутствующие в них взаимоотношения и связи. В математических теоремах выявляются такие объективные признаки научного прекрасного, как порядок, симметрия, единство разнообразий, применяемость и т.д [2]. Одновременно математические теоремы примечательны непредсказуемостью, неожиданностью и другими субъективными признаками научного прекрасного. Эстетическая привлекательность здесь обусловлена также познанием неочевидной истины, преодолением трудных и сложных препятствий для их выявления или восприятия, осуществлением интеллектуального поиска, открытия, по мере тех усилий, которые необходимы для восприятия сущности предмета и т.д. То же самое относится и к доказательствам теорем.
Внутренняя эстетика математических объектов проявляется на всех этапах обучения математике. И на всех этих этапах внутренняя эстетика выражается объективными и субъективными признаками математического прекрасного [4]. При изучении понятий в качестве внутренней эстетики могут выступать всестороннее выявление прикладного значения необходимости введения понятия, то есть мотивации, для математических объектов и практики. геометрический эстетический математический
В качестве признаков проявления эстетики понятия могут выступать объективные признаки четкости, своеобразности, единства и общности разнообразий, порядка, симметрии, сравнения, ритма, гармонии, оптимальности, полезности и применяемости. В этом же процессе могут выступать также субъективные признаки неожиданности математического прекрасного, прилагаемых усилий для понимания сущности предмета, игры, интеллектуального поиска [2].
Для выявления внутренней эстетики процесса изучения теорем необходимо рассматривать теорему, как свойство какого- либо понятия или выражение связей между разными понятиями. Привлекательность полученной эстетики обусловлена разными объективными и субъективными признаками математического прекрасного. Математические и практические применения теорем - также проявления их внутренней эстетики.
Внутренняя эстетика математических объектов всем своим блеском и глубиной проявляется в математических доказательствах: не зря известный американский математик и педагог Пол Локхард именует математику искусством доказательств [1].
Аргументы, используемые в доказательствах каждой теоремы, их прочная последовательность - соответствующая цепочка шагов, связанных искусством вытекания друг из друга, не может не стать причиной эстетического удовольствия. Иногда отдельные шаги или звенья этой цепочки получаются в результате блестящих и проницательных идей человеческой мысли, параллель которых трудно представить в чувственно-эмоциональной области человека. Не зря один из великих математиков двадцатого века Андре Вейль высказался о подобной идее человеческой мысли: «Самым выдающимся творением, когда-либо созданным человеком, возможно, является рукопись Эвариста Галуа, объемом в десять страниц». А создание этого юноши двадцати одного года, которое впоследствии было названо теорией Галуа, утверждало глубокую, невообразимую связь между далекими друг от друга и трудно воспринимаемыми для того времени понятиями, что было удивительно также тем, что математическая истина обусловила также ее красотой.
Несомненно, курс математики общеобразовательной школы не может представить такие глубины математических идей, их осуществления, доказательства. Однако, здесь также доказательства, как и их методы, могут быть носителями эстетической привлекательности так как они сопровождаются объективными признаками математического прекрасного - логической строгостью, симметрией, сравнением, гармонией, а их обучение можно сопровождать такими субъективными признаками математического прекрасного, как усилия, вложенные для понимания сущности предмета, преодоление целенаправленного, сложного и трудного препятствия, интеллектуальный поиск, нахождение и изобретение.
Важным источником внутреннего проявления математического прекрасного являются математические задачи. И многие исследователи эстетику математики, в основном, связывают именно с задачами. Здесь, в качестве проявления внутренней эстетики, могут служить как объективные, так и субъективные признаки математического прекрасного [4].
Взаимоотношения внешних и внутренних проявлений прекрасного. Естественно приписывание первого вида прекрасного - внешнего, форме математических предметов и явлений, а второго вида прекрасного - внутреннего, их содержанию. Некоторые исследователи склонны считать, что внешняя красота математического объекта воспринимается независимо от внутреннего содержания.
Н. Гусева, к примеру, считает, что внешняя красота выявляется с помощью органов чувств, без активного участия мышления, однако для восприятия внутреннего прекрасного, наоборот, необходимы активные вмешательства мышления [5]. Мы считаем, что такой подход не выражает реального положения дел с достаточной полнотой. Действительно, как и в природе или искусстве, так и в науке (тем более в математике) для выявления и восприятия эстетики предмета, явления недостаточно лишь участия органов чувств. Для каждого подобного случая необходимо учитывать опыт, интуицию, способность выполнять сравнения, для чего необходимо также активное участие мышления. И вообще, форма и содержание предмета, как явления, находятся в органическом единстве. И потому понимание одного из них зависит от понимания другого.