То же относится и к прекрасному. Внутренняя и внешняя красота предмета, явления взаимосвязаны: без одной не может существовать другая, познание одной помогает выявлению знания о другой. Именно их единство позволяет полностью выявить сущность предмета, и именно их единство составляет красоту предмета, явления.
Возьмем хотя бы формулу а2+b2=С2. Для кого-либо, далекого от математики, она ничем не примечательна. Однако, на самом деле, она выражает очень глубокую геометрическую закономерность: треугольник прямоуголен только и только в том случае, если возможно обозначить длины его сторон буквами а, b, с так, чтоб они были связаны данной формулой.
Подобным образом формула а2+b2<С2 выражает остроугольность треугольника, а формула а2+b2>С2 - тупоугольность треугольника.
Эти закономерности наделены эстетическими признаками неожиданности, ясности и привлекательны. А без геометрической интерпретации только лишь аналитический вид этих формул не содержит эстетического значимого элемента.
Или возьмем выражение 4/ЗрR3. С первого взгляда - это последовательность математических символов и ничем не отличается от других подобных последовательностей. Однако еще древние математики выяснили, что этой формулой выражается или измеряется объем шара радиуса R. Именно эта закономерность вызывает интерес к данному выражению и делает его привлекательным. В свою очередь эта формула дает возможность выявить как многие свойства шара, так и его различные связи с другими телами. Они имеют следующие признаки математической эстетики: неожиданности, непредсказуемости, ясности, логической строгости и т.д., и этим делают данные выражения привлекательными.
Взаимосвязь внутренней и внешней эстетики математических объектов проявляется в школьном курсе математики на всех этапах ее преподавания.
Но необходимо заметить, что возможность выступления каждого из них связана с возрастными особенностями учащихся: в младших классах, где доминирует образное мышление, значительную роль играет внешняя эстетика математических объектов.
Впоследствии, параллельно с формированием и развитием логического мышления, начинает выступать и постепенно играть более значимую роль внутренняя эстетика объектов. Понятно, что в процессе преподавания математики, во-первых, проявляется внешняя эстетика объекта, и только затем - внутренняя, и они дополняют друг друга.
Взаимосвязи внешней и внутренней эстетики математических объектов подробно рассмотрим на примере из курса геометрии средней школы [4]. Его можно назвать также красотой конфигурации окружности и четырехугольника или их «любовь».
Во-первых, рассмотрим три возможных случая взаимного расположения прямой и окружности: на рис. 1, а) прямая не имеет с окружностью общей точки, на рис. 1, б) она, пересекая окружность, имея две общие точки; на рис. 1, е) имеет одну общую точку и является касательной окружности.
Рис. 1
Какую из этих конфигураций можно считать красивой или привлекательной? Несомненно, здесь речь пока о внешней красоте. Этот вопрос предлагался студентам разных поколений и всегда получался тот же ответ: большинство считает красивым конфигурацию 1, е). Не спорил и сейчас не спорю, будучи уверенным, что читатель того же мнения. Не хочу даже обсуждать причину подобного подхода. Хотя, надо заметить, что подобная дискуссия может оказаться весьма интересной и поучительной с точки зрения развития эстетических навыков учащихся.
Для того, чтоб сделать мою речь более образной и повысить интерес студентов, я (в случае 1, е) говорю, что окружность и прямая «любят» друг друга.
Сейчас я хочу рассмотреть также следующие конфигурации окружности и треугольника. В этом случае мои студенты считают привлекательной конфигурацию 2, е), что объясняется тем, что она сводится к привлекательности взаимного расположения прямой и окружности.
Действительно, стороны треугольника составляют часть прямой, которые на рис. 2, е) касаются окружности, что было привлекательным в предыдущем случае рис. 1, е).
Нетрудно заметить, что для каждого треугольника есть одна окружность, которая «любит» этот треугольник, то есть все три стороны треугольника касаются окружности.
В математике такая окружность называется окружностью, вписанной в треугольник. Ясно, что всякий треугольник будет любимым некоторой окружностью (а окружность будет любимой бесконечно многими треугольниками).
Рассмотрим также подобную задачу для четырехугольника. Во-первых, будет ли любой четырехугольник любимым для какой-либо окружности? Математическим языком это означает, можно ли вписать окружность в любой четырехугольник?
На этот вопрос ответить очень легко. Понятно, что в квадрат всегда можно вписать окружность (см. рис. 3а), а в прямоугольник, который не является квадратом, невозможно вписати в окружность (см.рис.3б)
Естественным кажется вопрос, который касается внешней привлекательности взаимного расположения окружности и четырехугольника: какие четырехугольники «любят» окружности или, сформулировав математически, в какие четырехугольники можно вписать окружности?
Понятно, что на этот вопрос не может ответить внешняя сторона эстетики, и мы вынуждены обратиться к внутренней эстетике математических объектов.
Предположим, в данный четырехугольник уже вписана окружность так, как показано на чертеже 4, а).
Из чертежа и из свойства равенства двух касательных отрезков, проведенных к окружности из данной точки, следует а=х+z, b=у+t, следовательно, а+b=(х+у)+(z+t), что означает, что суммы противоположных сторон четырехугольника равны. То есть, если в четырехугольник можно вписать окружность, то обязательно суммы пар противоположных сторон будут одинаковы.
Рис. 4
А может именно это свойство четырехугольника - причина вписываемости в него окружности? Попробуем обсудить эту версию.
Предположим, суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то есть а+с=b+d. Попробуем показать, что в него можно вписать окружность.
Для любого четырехугольника можно провести окружность, касающуюся его трех сторон, для чего достаточно найти точку пересечения биссектрис соседних углов, которая и будет центром данной окружности. Если для нашего четырехугольника провести такую окружность, то она или будет касаться также четвертой стороны четырехугольника, то есть примет вид 4, а), или примет вид 4, б), или же 4, е).
Воспользовавшись этим условием, а также известным фактом, что если четырехугольник вписываемый, то суммы противоположных пар сторон одинаковы, в случае вариантов 4, б) и 4, е) получим а+с=d+b+х, а+у=d+b, откуда получим формулу х+у=с, что неверно, так как х, у, и с - длины сторон одного и того же треугольника. Значит, остается случай касания, т.е. 4, а).
Выводы и перспективы дальнейших исследований
Таким образом, внешне кажущееся красивым взаимное расположение окружности и четырехугольника характеризуется также наличием внутренней красивой связи между соответствующими понятиями. И, наоборот, взаимное расположение окружности и четырехугольника, характеризующееся внутренней красивой связью, имеет также внешнюю эстетическую привлекательность.
Список библиографических ссылок
1. Локхард П. Плач математика. ИКЬ: www.livelib.ru/book/1000487179.
2. Микаелян Г.С. Прекрасное и математика. Ереван: Эдит Принт, 2014 (на арм. языке).
3. Тэн И. Философия искусства, М. 1996.
4. Микаелян Г.С. Прекрасное и образовательный потенциал математики. Ереван: Эдит Принт, 2015 (на арм. языке).
5. Гусева Н.В. Теоретические и методические основы раскрытия эстетического потенциала школьного курса математики в 5-6 классах: дис. ... канд. пед. наук. Арзамас, 1999. 212 с.
References
1. Lockhardm, P. Crying Mathematics. Retrieved from www.livelib.ru/book/1000487179.
2. Mikaelian, H.S. (2014). Beauty and mathematics. Yerevan: Edith Print. (in Arm.).
3. Taine, H.A. (1996). Philosophy of Art. Moscow (in Rus.).
4. Mikaelian, H.S. (2015). Beauty and educational potential of mathematics. Yerevan: Edith Print. (in Arm.).
5. Guseva, N.V. (1999). Theoretical and methodological foundations of disclosing the aesthetic potential of schoolchildren of o course of mathematics in grades 5-6 (PhD Dissertation). Arzamas. 212 p.
Summary
External and internal manifestations beauty in the process of teaching mathematics
Mikaelian Hamlet, Doctor Science in Pedagogy, PhD in Physics and Mathematics, Professor, Head of Mathematics and Methods of Its Teaching Department, Khachatur Abovyan Armenian State Pedagogical University, Republic of Armenia
Both in everyday life and in different areas of life, the beautiful is manifested primarily in the external form of objects and phenomena. The external manifestation of mathematical beauty is usually identified with the aesthetics of the appearance of mathematical objects, and since there are two types of external manifestations of mathematical objects: analytical and geometric, it is natural to distinguish the form of mathematical writing from the geometric forms of external aesthetics of mathematics.
Indicators of identifying the external beautiful of mathematical objects can serve as signs of mathematical beautiful. From the viewpoint of geometric forms, as aesthetic signs can act symmetry and comparison of lines, figures or bodies, in particular, the golden section, the rhythm, the harmony, etc. As for the analytical writing of formulas or mathematical expressions, we note that the appearance, the shape of each object is intended to express their essence and it is natural to consider as wonderful that from various records of the same object, which most of all contributes to the perception of the essence of the object, understanding the process . From this point of view, one can take clarity, prostate, applicability, etc., as external signs of mathematical beauty.
In addition to the external forms of mathematical objects and phenomena, the beauty is also manifested in their internal structures and contents. For beauty in mathematics, researchers proceed from the relationship of the objects, their relationship with the outside world. It should be noted that, in contrast to the external manifestation, the internal manifestation of mathematical beauty is not immediately visible, it is hidden in the depths of a mathematical phenomenon, it requires some effort to identify and perception. In turn, these efforts, as the subjective signs of mathematical beauty, make the beauty, expressed in the objects content, more attractive.
External and internal manifestations of mathematical beauty appear in the whole process of learning mathematics. And if in the mathematics itself the internal manifestations of the beautiful prevails, then in the learning process, the external side of the beautiful also appears in the foreground.
It should be noted that the possibilities of each of them is related to the age characteristics of students: in the lower grades, where figurative thinking dominates, the external aesthetics of mathematical objects play a significant role. In parallel with the formation and development of logical thinking, the internal aesthetics of objects begins to act and gradually play a more significant role. It is clear that in the process of teaching mathematics, first, the external aesthetics of the object manifests itself, and only then the internal aesthetics, and they complement each other.
In this work we consider an example from a high school geometry course. It can also be called "The beauty of the configuration of the circle and quadrangle or their "love".
Keywords: external beautiful; internal beautiful; signs of mathematical beautiful; circle; rectangle; quadrilateral.