Курсовая работа (т): Задачи на максимум и минимум в геометрии

Задачи на максимум и минимум в геометрии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФГАОУ ВПО «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Факультет естественнонаучного и математического образования

Кафедра геометрии и методики преподавания математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Задачи на максимум и минимум в геометрии

Исполнитель:

Щелчкова К.В.

Ростов-на-Дону

Оглавление

Введение

. Задача на экстремум в математике

.1 История решения задач на экстремум

.2 Понятие задачи на экстремум

.3 Методы решения задач на экстремум

.4 Примеры геометрических экстремумов

. Знаменитые задачи на максимум и минимум

.1 Задача Кеплера

.2 Задача Фаньяно

.3 Задача Дидоны

.4 Задача Ферма - Торричелли - Штейнера

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

Данная работа посвящена рассмотрению темы «Задачи на максимум и минимум в геометрии».

Задачи на максимум и минимум в геометрии или, как их называют по - другому, задачи на экстремум в геометрии можно признать особенно важными для самой математике и ее приложений. О таких задачах писал великий русский математик П.Л. Чебышев. Он указывал, что «практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется, недостает науке многих и различных метод. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?» [2, 6] П. Л. Чебышев добавляет: «Решение задач этого рода составляет предмет так называемой теории наибольших и наименьших величин. Эти задачи, чисто практического характера, имеют особенную важность и для теории: все законы, определяющие движение материи весомой и невесомой, представляют решение задач этого рода. Нельзя не заметить особенно благотворного влияния их на развитие наук математических». [2, 6]

Задачи на экстремум используются не только в алгебре или геометрии, но они часто встречаются и в природе.

Охарактеризуем методологический аппарат исследования:

·        объект исследования: задачи на экстремум;

·        предмет исследования: решение задач на минимум и максимум в геометрии;

·        цель исследования заключается в рассмотрении задач на экстремумы, рассмотрение истории, понятий и методов решения задач на экстремум;

·        задачи исследования:

.        изучить представленную научную литературу;

.        описать историю решения задач на экстремум;

.        описать понятия задач на экстремум;

.        рассмотреть методы решения задач на экстремум;

.        рассмотреть задачи Кеплера, Фаньяно, Дидоны, Ферма - Торричелли - Штейнера;

·        структура курсовой работы:

Курсовая работа состоит из введения, двух частей, заключения и списка литературы. Общий объем курсовой работы составляет 35 страниц. Из них 29 страниц основной текст, 1 страницы список литературы.

Во введении: обосновывается актуальность исследования, определяются объект и предмет курсовой работы, формулируется цель, указываются задачи исследования.

Первая часть: посвящена теоретическому материалу по задачам на экстремум, выявлению основных понятий и методов решения.

Вторая часть: посвящена решению исторических геометрических задач.

В заключении: обобщены результаты исследования, удовлетворяющие поставленным во введении задачам.

В приложении представлены: биография Иоганна Кеплера и решена задача на экстремум.

1. Задача на экстремум в математике

.1 История решения задач на экстремум

Экстремальными задачами человек интересуется с античных времен. В Древней Греции уже давно (во всяком случае до VI века до н.э.) знали об экстремальных свойствах круга и шара: среди плоских фигур с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет круг (среди пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности (решение изопериметрической экстремальной задачи); шар имеет максимальный объем (решение изопифанной экстремальной задачи). История сохранила легенду о следующей самой древней экстремальной задаче, известной как задача Дидоны. Финикийская царевна Дидона (IX век до н.э.) решила организовать поселение на берегу понравившегося ей залива в Северной Африке. Она уговорила вождя местного племени отдать ей клочок земли, который можно охватить воловьей шкурой. Воины Дидоны разрезали шкуру на тонкие полоски, и Дидона охватила ремнем, составленным из этих полосок, участок земли на берегу залива. Так возник город Карфаген. Задача Дидоны состоит в указании формы границы участка, имеющей заданную длину, при которой площадь участка максимальна. Если знать экстремальное свойство круга, то решение получается немедленно: граница участка представляет часть окружности, имеющей заданную длину. Экстремальными задачами занимались многие античные ученые (Евклид, Архимед, Аристотель и др.). Известна следующая задача Евклида (IV век до н.э.): в заданный треугольник ABC вписать параллелограмм ADEF наибольшей площади. Нетрудно доказать, что решением этой задачи является параллелограмм, вершины D, E, F которого делят соответствующие стороны треугольника пополам.

После гибели античной цивилизации научная жизнь в Европе стала возрождаться только в XV веке. Задачи на экстремумы оказались среди тех, которыми интересовались лучшие умы того времени. Если в античные времена задачи на экстремумы исследовались только геометрическими методами и каждая задача для своего решения требовала специфического приема, то в XVII веке появились общие методы изучения задач на экстремумы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Первые элементы математического анализа были созданы И. Кеплером (1615 год), который так описывает появление своего открытия: "Мне как хорошему хозяину следовало запастись вином. Я купил его несколько бочонков. Через некоторое время пришел продавец - измерить вместимость бочонков, чтоб назначить цену на вино. Для этого он опускал в каждый бочонок железный прут и, не прибегая ни к какому вычислению, немедленно объявлял, сколько в бочке вина". После размышлений Кеплер открыл секрет такого простого способа измерения объема бочек. Оказалось, что бочары за долгую историю научились изготавливать бочки такой формы, при которой они имели наибольший объем при заданной длине мокрой части прута. А поскольку в окрестности максимума значения функции изменяются мало (в этом суть открытия И. Кеплера), то торговец вина почти не ошибался при объявлении объема бочки по одному измерению.

Открытое И. Кеплером основное свойство экстремумов было затем оформлено в виде теоремы сначала П. Ферма (для многочленов), потом И. Ньютоном и Г.В. Лейбницем для произвольных функций и носит теперь название теоремы Ферма, согласно которой в точке экстремума x0 непрерывной функции f (x) производная функции равна нулю:

С тех пор исследование функций с помощью анализа бесконечно малых величин стало одним из мощнейших математических методов и привело к созданию современного математического анализа.

.2 Понятие задачи на экстремум

Экстремум (лат. extremum - крайний) в математике - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум - точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум - точкой максимума.

Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1 < x2 выполняется неравенство (f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)).

Точка x0 называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки x0, для всех точек которой верно неравенство f(x)  f(x0) (f(x) ≥ f(x0)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(x0) = 0, либо f (x0) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x0 - критическая точка. Если f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак плюс на минус, то в точке x0 функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x0 экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f '(x) в окрестности точки x0 и вторую производную в самой точке x0. Если f '(x0) = 0,

f”(x0) > 0, то точка x0 является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же f”(x0) = 0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Экстремальные задачи - задачи на максимум и минимум - во все времена привлекали внимание учёных. Из попыток решить ту или иную экстремальную задачу возникали и развивались новые теории, а иногда и целые направления математики.

Максимумы и минимумы постоянно возникают в инженерных расчётах, в архитектуре, экономике и т.д. Кроме того, экстремальные задачи самым неожиданным образом находят применение в науках о природе: физике, химии, биологии. Давно уже было замечено, что окружающий мир во многом устроен по экстремальным законам. Леонард Эйлер (1707-1783), один из величайших математиков, говорил: «В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума». С экстремальными задачами человек начинает знакомиться в средней школе. Вот, пожалуй, самая известная из них: на плоскости дана прямая l и точки A и B по одну сторону от неё. Найти на прямой точку M, для которой сумма AM + BM наименьшая.

Для решения отразим точку B относительно прямой l, получим точку B′.

Рисунок 1

Отрезок BM переходит при симметрии в отрезок B′M, следовательно, AM + BM = AM + B′M. Согласно неравенству треугольника, сумма AM + B′M принимает наименьшее значение, когда точка M лежит на отрезке AB′. Таким образом, M - точка пересечения прямой l с отрезком AB′; для этой точки сумма AM + BM равна длине отрезка AB′, при другом выборе точки M эта сумма будет больше AB′.

С её помощью можно объяснить закон отражения света «угол падения равен углу отражения», поскольку в однородной среде свет распространяется по кратчайшему пути. Кроме того, эта простая задача лежит в основе так называемых фокальных свойств конических сечений - эллипса, гиперболы и параболы.

Считается, что впервые задача о кратчайшем пути между двумя точками с заходом на прямую, или задача об отражении света, была решена древнегреческим математиком Героном Александрийским (I век н. э.) в трактате «О зеркалах». Поэтому её иногда называют задачей Герона. Её можно интерпретировать и как сугубо практическую: где на прямой дороге нужно поставить автобусную остановку, чтобы суммарный путь до неё от деревень A и B был наименьшим?

Различны и многообразны приёмы и методы решения задач на экстремумы, как аналитические (перебора, оценки, неравенств и др.) так и геометрические (преобразование плоскости, оценка, перебор). Каждый метод по - своему уникален и неповторим. Эти приёмы можно отнести к элементарным, т.к. они не предполагают применения математического анализа, а ограничиваются алгебраическим или геометрическим подходом к решению задачи на экстремум. Каждый их таких элементарных приемов является мостиком к решению не большого класса задач на экстремум. Кроме того, применение этих методов для ряда задач будет более рационально, чем использование инструментов математического анализа.

Рассмотрим основные методы решения задач на экстремумы и их применение при решении конкретных задач.

Общий прием решения задач на экстремум опирается на теорему Ферма: Если функция y = f(x) (имеющая производную) при х ~ х0 принимает локальный максимум или минимум, то производная от этой функции при х = х0 обращается в 0.

Рисунок 2

Геометрически это означает, что касательная к графику функции в соответствующей точке его параллельна оси ОХ.

Теорема Ферма очень наглядна. И все же докажем ее.

Пусть х0 - точка максимума функции у = f (x), то есть при х = х0 эта функция принимает наибольшее значение. Дадим х0 достаточно малое положительное приращение h. Новое значение аргумента х0 + h будет достаточно близким к х0, и так как при х = х0 данная функция имеет максимум, то (xo + h) - f(х0)0. Поэтому , а значит .

Если же дать х0 отрицательное приращение (достаточно малое по абсолютной величине), то получим: f(х0 + h) - f(х0)  0 и , а значит,  0.

Оказалось, что одно и то же число f'(x) не положительно и неотрицательно. Это означает, что это число равно 0, то есть f’(х0) = 0. Рассуждения в случае минимума аналогичны.

Решение задач на экстремумы с помощью основного метода.

Чтобы проиллюстрировать рассмотренный общий прием решения задач на экстремумы, возьмем пример задачи о прямоугольнике наибольшей площади.

Рисунок 3

Из куска, стекла, имеющего указанные на рисунке форму и размеры, нужно вырезать прямоугольную пластину наибольшей площади.

Площадь пластины S = ху. За независимое переменное примем

х (0х100). Тогда из подобия треугольников ABE и CDE следует:  или , откуда у = х + 80. Поэтому S = х2 + 80х. Исследуем эту функцию на экстремум. S' = х + 80, х + 80 =0, х = 200.

Найденное значение х выходит из промежутка изменения х. Поэтому внутри этого промежутка стационарных точек нет. Значит, наибольшее значение S принимает в одном из концов промежутка, а именно при х = 100 мм, а тогда у = 60 мм и S = 6000 мм2.

1.4 Примеры геометрических экстремумов

Если обратиться к геометрическим задачам на экстремумы, решаемым с помощью геометрических средств, то окажется, что используемые здесь приемы особенно разнообразны. Для нахождения экстремумов геометрических величин могут быть использованы многие теоремы геометрии.

Рисунок 4

Задача 1. Дан угол ABC и внутри него точка D. Требуется построить треугольник, две вершины которого лежали бы соответственно на сторонах данного угла, а третьей вершиной была бы точка D, и который имел бы наименьший периметр.

Возьмем произвольный треугольник DKL, две вершины которого лежат соответственно на сторонах ВА и ВС, а третьей вершиной служит точка D (рис. 3). Построим точки Е и F симметричные точке D относительно сторон угла ВА и ВС, и соединим отрезками прямой эти точки соответственно с вершинами К и L треугольника. Так как КЕ = KD и LF = LD, то длина ломаной EKLF равна периметру треугольника DKL. Но нас интересует треугольник с наименьшим периметром, а наименьшим будет периметр, равный длине отрезка EF. Поэтому вершины К1 и L2 искомого треугольника определяются как точки пересечения прямой EF со сторонами данного угла (рис. 4).