Курсовая работа (т): Задачи на максимум и минимум в геометрии

Основные пути решения задачи Дидоны или, как ее называют по - другому, классической изопериметрической задачей были намечены еще во времена античности. Строгое доказательное оформление этих идей было сделано математиками гораздо позже. Актершев приводит схему доказательства Я. Штейнера.

Теорема: Из всех изопериметрических замкнутых плоских кривых окружность является экстремальной.

Лемма 1: Экстремальная кривая выпукла.

Рисунок 15

Доказательство: Если кривая не выпукла, то на ней найдутся две точки А и А1 такие, что обе дуги АВА1 и АВ1А1, соединяющие точки А и А1, лежат по одну сторону от прямой АА1 (рис. 15). Заменив одну из дуг ее зеркальным отражением относительно прямой АА1, мы получим кривую той же длины, но большей площади.

Лемма 2: Если точки А и В делят длину экстремальной кривой пополам, то хорда АВ делит площадь фигуры пополам.

Доказательство: Если хорда АВ делит площадь на две неравные части, то большую часть можно зеркально отразить относительно прямой АВ и, взяв большую часть вместе с ее зеркальным отражением, получить новую фигуру с тем же периметром, но большей площади.

Лемма 3: Пусть точки А и В делят длину экстремальной кривой пополам, и точка С любая точка кривой. Тогда угол АВС - прямой.

Доказательство: Допустим, что угол АВС не является прямым. Площадь, ограниченная дугой АСВ и хордой АВ, разбита на три части: треугольник АСВ и два сегмента, прилегающие к хордам АС и СВ. Представим, что сегменты жесткие, а в точке С находится шарнир, соединяющий два сегмента. Повернем хорду СА вместе с прилегающим к ней сегментом вокруг шарнира так, чтобы угол между хордами стал прямым. Точка А перейдет в точку А1, при этом длина дуги АВС и площади сегментов не изменятся (рис. 10). Площадь треугольника ВСА1 больше, чем площадь треугольника ВСА, т. к. из всех треугольников с заданными длинами двух сторон максимальную площадь имеет прямоугольный треугольник. Теперь отразим полученную фигуру относительно А1В. В результате получаем фигуру с тем же периметром, но большей площадью.

Рисунок 16

.4 Задача Ферма - Торричелли - Штейнера

История этой задачи насчитывает более трёх с половиной столетий. Она была помещена в книге итальянского физика и механика Вивиани «О максимальных и минимальных значениях» в 1659 году. Винченто Вивиани (1622-1703) известен как один из лучших специалистов по задачам на максимум и минимум, а также по теории конических сечений. Своё сочинение Вивиани, следуя традициям того времени, снабдил длинным названием: «Пятая книга сочинений Аполлония Пергского о конических сечениях, заключает в себе первые исследования о наибольших и наименьших величинах и признаётся самым замечательным памятником этого великого геометра».

Среди множества задач на максимум и минимум, помещённых в этой книге, есть такая: на плоскости даны три точки A, B, C, не лежащие на одной

прямой. Для какой точки T плоскости сумма расстояний AT + BT + CT наименьшая?

Ещё до книги Вивиани этой задачей интересовался итальянский математик Бенавентура Кавальери (1598-1647), автор знаменитого «принципа Кавальери» для вычисления площадей и объёмов, предвосхитившего интегральное исчисление, а также математик и физик Эванджелиста Торричелли (1608-1647). Согласно другим источникам, независимо от Торричелли, эту задачу решил и величайший французский математик Пьер Ферма (1601-1665). А первое чисто геометрическое решение принадлежит, по - видимому, швейцарскому геометру Якобу Штейнеру (1796-1863).

Решение: выстроим отрезки AT, BT и CT в ломаную линию. Теперь, однако, вместо симметрии применим поворот. Повернём плоскость на 60вокруг точки A, при этом точка C перейдёт в некоторую точку D, а точка T - в точку N. Треугольник AND равен треугольнику ATC, поскольку переходит в него при повороте на 60, значит TC = ND. Треугольник ANT - равносторонний, так как AT = AN и ∠TAN=60◦, поэтому TA = TN. Итак, сумма AT + BT + CT равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD.

Рисунок 17

Повернём плоскость на 60вокруг точки A, при этом точка C перейдёт в некоторую точку D, а точка T - в точку N.

Рисунок 18

Треугольник AND равен треугольнику ATC, поскольку переходит в него при повороте на 60, значит TC = ND. Треугольник ANT - равносторонний, так как AT = AN и ∠TAN=60, поэтому TA = TN. Итак, сумма AT + BT + CT равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD. Равенство достигается, когда точки B, T, N и D лежат на одной прямой (в указанной последовательности). Это означает, что ∠BTA + ∠ATN = 180 и, следовательно, ∠BTA = 120; а также ∠AND + ∠ANT = 180, значит, ∠AND = 120, поэтому

∠ATC = 120. Таким образом, лучи TA, TB и TC образуют два угла в 120, поэтому и третий угол между ними также равен 120 (рис. 18).

Итак, сумма AT + BT + CT равна длине ломаной BTND, а значит, она не меньше длины отрезка BD (рис. 17). Равенство достигается, когда точки B, T, N и D лежат на одной прямой (в указанной последовательности). Это означает, что ∠BTA + ∠ATN = 180 и, следовательно, ∠BTA = 120; а также ∠AND + ∠ANT = 180, значит, ∠AND = 120, поэтому ∠ATC = 120. Таким образом, лучи TA, TB и TC образуют два угла в 120, поэтому и третий угол между ними также равен 120.

Точка T, из которой все стороны треугольника видны под углами 120, имеет несколько названий. Иногда её называют точкой Ферма, иногда - точкой Торричелли, иногда - точкой Штейнера. Доказательство, которое было приведено, с поворотом плоскости на 60, принадлежит Якобу Штейнеру.

А первым по времени из этих трёх математиков был Торричелли. Поэтому будем называть эту точку, по праву первенства, точкой Торричелли, центрами вписанной и описанной окружностей. Правда точка Торричелли существует не у любого треугольника. Однако уже доказано, что если у треугольника есть точка Торричелли, то она является единственной точкой минимума суммы расстояний до вершин треугольника.

Когда же точка Торричелли существует? Пусть из трёх углов треугольника угол при вершине A является наибольшим. Построим на сторонах AC и AB вовнутрь треугольника ABC дуги окружностей, содержащие по 120. Эти дуги пересекаются в точке A. Если же угол A меньше 120, то эти дуги имеют ещё и вторую точку пересечения, которую обозначим через T. Это и есть точка Торричелли. В самом деле, так как углы ATC и ATB по построению равны 120, то и третий угол BTC также получается равен 360 − 120•2 = 120. И наоборот, если точка Торричелли существует, то она строится именно таким образом, поскольку должна лежать на пересечении дуг окружностей величиной в 120, построенных на сторонах треугольника. Итак, треугольник имеет точку Торричелли тогда и только тогда, когда все его углы меньше 120.

Теорема Торричелли-Ферма-Штейнера. Если все углы треугольника меньше 120, то точкой минимума суммы расстояний до его вершин является точка Торричелли. Если же один из углов больше или равен 120, то такой точкой является вершина этого угла.

Заключение

Курсовая работа включает в себя две основные главы. В первой ее части мы постарались раскрыть значение столь необходимой в наше время науки в области математики, как экстремум, рассматривая ее первые шаги в этом направлении еще со времен Древней Греции. Что эта наука будоражила умы многих знаменитых людей того времени говорит о том, что до наших дней сохранились некоторые легенды (см. лист 5 курсовой работы).

С тех пор ученые в этой области шагнули далеко вперед и на сегодняшний день мы имеем мощнейший математический метод в виде современного математического анализа.

Экстремум постоянно возникает во многих расчетах в области инженерии, в экономических и финансовых сферах деятельности. Люди, далекие от математики, часто даже не подозревают о том, что в повседневной жизни им приходиться сталкиваться с таким понятием, как экстремум в его различии и многообразии. Аналитический и геометрический методы решения хороши тем, что не предполагает применения математического анализа и считается элементарным. В некоторых сферах деятельности человека такой метод будет более подходящим инструментом решения с научной точки зрения. задача максимум минимум геометрический

Вторая глава курсовой работы посвящена знаменитым задачам на максимум и минимум.

Задачи Кеплера, Фаньяно, Дидоны, Ферма по своей сути уникальны. Каждый из них внес неоценимый вклад в область математических исследований.

Деятельность Кеплера протекала между эпохами Коперника и Ньютона и символизирует начало современного естествознания. Фаньяно - известный итальянский инженер и математик, один из основателей эллиптического интеграла. Задача Дидоны - исторически первая задача вариационного исчисления. Некоторые источники связывают ее с древней легендой об основании города Карфагена. Ферма - французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел.

Данной курсовой работой мы постарались максимально грамотно и четко раскрыть цели и задачи задач на максимум и минимум в геометрии. В процессе ее написания была изучена научная литература, источники энциклопедических словарей (в т.ч. Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона), описаны история, понятия и методы решения задач известных математических деятелей Кеплера, Фаньяно, Дидоны и Ферма.

Список литературы

1.      Актершев С. П. Задачи на максимум и минимум. - «БХВ Петербург» Санкт-Петербург, 2004.

.        Нагибин Ф. Ф. Экстремумы. - «Просвещение». - Москва, 1996.

.        Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. - Издательство Московского центра непрерывного математического образования.-  Москва, 2005.

.        Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. Издание второе. - Издательство МЦНМО Москва, 2006.

.        Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. - Издательство «Наука» Москва, 1970.

Приложение

.        Биография Иоганна Кеплера.

Иоганн Кеплер (1571-1630) - немецкий астроном, один из творцов астрономии нового времени. Открыл законы движения планет, на основе которых составил планетные таблицы. Заложил основы теории затмений. Изобрел телескоп, в котором объектив и окуляр - двояковыпуклые линзы. Знак зодиака - Козерог.

Иоганн Кеплер появился на свет 27 декабря 1571 года в маленьком городке Вейле близ Штутгарта. Кеплер родился в бедной семье, и поэтому ему с большим трудом удалось окончить школу и поступить в 1589 году в Тюбингенский университет. Здесь он с увлечением занимался математикой и астрономией. Его учитель профессор Местлин втайне был последователем Коперника. Конечно, в университете Местлин преподавал астрономию по Птолемею, но дома он знакомил своего ученика с основами нового учения. И вскоре Кеплер стал горячим и убежденным сторонником теории Коперника.

В отличие от Местлина, Иоганн Кеплер не скрывал своих взглядов и убеждений. Открытая пропаганда учения Коперника очень скоро навлекла на него ненависть местных богословов. Еще до окончания университета, в 1594 году, Иоганна посылают преподавать математику в протестантское училище города Граца, столицы австрийской провинции Штирии.

Уже в 1596 году Иоганн издает «Космографическую тайну», где, принимая вывод Коперника о центральном положении Солнца в планетной системе, пытается найти связь между расстояниями планетных орбит и радиусами сфер, в которые в определенном порядке вписаны и вокруг которых описаны правильные многогранники. Несмотря на то, что этот труд Кеплера оставался еще образцом схоластического, квазинаучного мудрствования, он принес автору известность. Знаменитый датский астроном - наблюдатель Тихо Браге, скептически отнесшийся к самой схеме, отдал должное самостоятельности мышления молодого ученого, знанию им астрономии, искусству и настойчивости в вычислениях и выразил желание встретиться с ним. Состоявшаяся позже встреча имела исключительное значение для дальнейшего развития астрономии.

В 1600 году приехавший в Прагу Тихо Браге предложил Иоганну работу в качестве своего помощника для наблюдений неба и астрономических вычислений. Незадолго перед этим Браге был вынужден оставить свою родину Данию и выстроенную им там обсерваторию, где он в течение четверти века вел астрономические наблюдения. Эта обсерватория была снабжена лучшими измерительными инструментами, а сам Браге был искуснейшим наблюдателем.

Когда датский король лишил Браге средств на содержание обсерватории, он уехал в Прагу. Браге с большим интересом относился к учению Иоганна Кеплера, но сторонником его не был. Он выдвигал свое объяснение устройства мира; планеты он признавал спутниками Солнца, а Солнце, Луну и звезды считал телами, обращающимися вокруг Земли, за которой, таким образом, сохранялось положение центра всей Вселенной.

Браге работал вместе с Кеплером недолго: в 1601 году он умер. После его смерти Иоганн Кеплер начал изучать оставшиеся материалы с данными долголетних астрономических наблюдений. Работая над ними, в особенности над материалами о движении Марса, Кеплер сделал замечательное открытие: он вывел законы движения планет, ставшие основой теоретической астрономии.

Кеплер пришел к мысли о неправильности установившегося с древности мнения о круговой форме планетных орбит. Путем вычислений он доказал, что планеты движутся не по кругам, а по эллипсам - замкнутым кривым, форма которых несколько отличается от круга. При решении данной задачи Кеплеру пришлось встретиться со случаем, который, вообще говоря, методами математики постоянных величин решен быть не мог. Дело сводилось к вычислению площади сектора эксцентрического круга. Если эту задачу перевести на современный математический язык, придем к эллиптическому интегралу. Дать решение задачи в квадратурах Иоганн Кеплер, естественно, не мог, но он не отступил перед возникшими трудностями и решил задачу путем суммирования бесконечно большого числа «актуализированных» бесконечно малых. Этот подход к решению важной и сложной практической задачи представлял собой в новое время первый шаг в предыстории математического анализа.