Материал: 2409
Практическая работа № 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
3.1. Цели и задача практической работы
Цели практической работы: формирование и закрепление знаний по разделу «Определен е погрешности результатов измерений».
Задача: пр обрести навыки по расчетному определению абсолютной и относ тельной погрешности результатов измерений.
3.2. Определен е погрешности результатов измерений
Оценка точности результатов опыта обязательна, т. к. полученные значения могут лежать в пределах возможной погрешности опыта, а выведенные закономерности – оказаться неясными и даже неверными. Точность есть степень соответствия результатов измерений действительному значению вел ч ны. Понятие точности связано с понятием погрешности: чем выше точность, тем меньше погрешность измерений, и наоборот. Самые точные приборы не могут показать действительного значения величины, их показания содержат погрешность.
Разность между действительным значением измеряемой величины Ад и измеренным Аизм называется абсолютной погрешностью измерения. Практически под абсолютной погрешностью Δ(А) понимают разность между результатом измерений при помощи более точных методов или приборов высшей точности (образцовых) значением этой величины полученным прибором, применяемым в исследовании:
(A) Aд Aизм Aобр Aизм. |
(3.1) |
Следует отметить, что значение абсолютной погрешности (A) результата измерений само по себе еще не определяет точности измерений. Для оценки точности измерений вводится понятие относительной по-
грешности (A), равной отношению абсолютной погрешности (A) ре- |
|
СибАДИ |
|
зультата измерений к измеряемой величине Аизм (в процентах), |
|
(A) (A)100%. |
(3.2) |
Aизм |
|
За меру точности измеряемой величины принимают величину, обратную (A). Следовательно, чем меньше относительная погрешность(A), тем выше точность измерений. Например, если относительная
26
ошибка измерений равна 2%, то говорят, что измерения выполнены с погрешностью не более 2% или с точностью не менее 0,5%.
Не следует использовать термин «точность» взамен терминов «абсолютная погрешность» и «относительная погрешность». Например, неправильно говорить «масса измерена с точностью ± 0,1 мг », т. к. ± 0,1 мг не точность, а абсолютная погрешность измерения массы.
Различают систематические, случайные и грубые погрешности измерений. истематические погрешности связаны в основном с погрешно-
СибАДИкратными. Однократно производятся измерения величин, когда невозможно или затруднено повторить условия измерения. Обычно это имеет место при измерениях в производственных, а иногда и в лабораторных условиях.
стями средств змерен й, несовершенством метода измерений и остаются
постоянными при повторных измерениях. Эти погрешности можно рассматривать как поправки к показаниям приборов, которые указываются в паспортах пр боров.
лучайными погрешностями называются те, причины которых неизвестны которые заранее невозможно учесть. Случайные погрешности вызываются погрешностью отсчетов показаний приборов, трением в механизмах пр боров. Полностью исключить случайные погрешности нельзя, но исследователь о язан определить возможную погрешность опыта. Случайные погрешности измерений можно выразить несколькими поня-
тиями.
Под предельной (максимальной) абсолютной погрешностью понимают такое ее значение, при котором вероятность попадания погрешности в интервал [Δп] < п настолько велика, что событие можно считать практически достоверным. При этом лишь в отдельных случаях погрешность может выйти за пределы указанного интервала. Измерение с такой погрешностью называют грубым (или промахом) и при обработке результатов исключают из рассмотрения. Таким образом, значение измеряемой ве-
личины можно представить формулой |
|
Aд Aизм п(A), |
(3.3) |
что следует читать так: истинное значение измеряемой величины нахо-
дится в пределах от Aизм п (A) до Aизм п (A).
Способ обработки опытных данных зависит от характера измерений,
которые могут быть прямыми косвенными, однократными и много-
Значение измеряемой величины при однократном измерении прибором определяется показаниями прибора с исключением дополнительной погрешности. Результаты измерений могут отличаться от истинных зна-
27
чений измеряемой величины не более чем на величину предельной по-
грешности, допускаемой классом точности прибора
K |
п |
(A ) |
п(A) |
100, |
(3.4) |
|
|||||
|
ном |
Aном |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражающего наибольшую допустимую относительную |
погрешность |
||||
п(A) в процентах от номинального значения Аном шкалы прибора.
СибАДИ |
|||||||||||
Предельная абсолютная погрешность измерения прибором с классом |
|||||||||||
точности К |
|
|
|
|
К Aном |
|
|
|
|||
|
|
|
п (A) |
|
|
. |
(3.5) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
Пример. Пусть при помощи манометра на 150 атм (рном = 150 атм, |
|||||||||||
15 МПа) с классом точности |
|
К = 1,5 измерено давление |
ризм = 50 атм |
||||||||
(5 МПа). Требуется определить предельную абсолютную и относитель- |
|||||||||||
ную погрешность змерения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предельная абсолютная погрешность манометра |
|
||||||||||
п (р) |
К рном |
|
1,5150 |
2,25атм. |
|
||||||
|
|
100 |
|
|
100 |
|
|
|
|
||
Предельная относительная погрешность данного измерения |
|||||||||||
п (ризм ) |
(р) |
2,25 |
|
|
|
|
|||||
|
п |
100 |
100 4,5%. |
|
|||||||
|
|
50 |
|
||||||||
|
|
ризм |
|
|
|
|
|||||
Из этого примера видно, что класс точности прибора (К =1,5) и относительная погрешность измерения этим прибором (в примере 4,5%) в общем случае не равны.
Класс точности – это предельно допустимая относительная погрешность прибора, приведенная к диапазону его шкалы, выраженная в про-
центах. Класс точности манометров по ГОСТ Р 8. 905 –2015 |
может быть |
0,4; 0,6; 1,0; 1,5; 2,5; 4,0. |
|
В качестве приближенного значения измеряемой величины теория |
|
ошибок рекомендует использовать среднее арифметическое |
ср из резуль- |
татов отдельных измерений: |
|
Acp |
A A ... A |
|
||
1 |
2 |
n . |
(3.6) |
|
|
|
|
n |
|
Согласно теории погрешностей оценкой точности измерения среднего арифметического значения Аср, принимаемого за истинное значение измеряемой величины, принимается среднее квадратичное отклонение
28
|
|
n |
|
A |
|
(Ai Acp)2 /[n(n 1)]. |
(3.7) |
cp |
|
i 1 |
|
|
|
|
Статистическая погрешность среднего арифметического значения (результата измерения) при малом числе наблюдений (n < 20) и заданной доверительной вероятности α определяется по формуле
п (Acp ) tp A 3 A . (3.8)
СибАДИcp cp
Значен я коэфф ц ента Стьюдента tα для наиболее употребительного интервала довер тельных вероятностей α и различных числах измерений n приведены в табл. 3.1 [5]. Обычно принимают tα = 3, что соответствует
числу опытов n = 4 – 5 |
α= 0,95. |
Задаваясь вероятностью того, что действительное значение измеряе- |
|
мой велич ны Ад попадет |
в данный доверительный интервал, или задава- |
ясь надежностью α, которая равна определенной величине (например, α = 0,95) по ч слу проведенных измерений nи (например, nи = 10) по
табл. 3.1 для эт х данных определяем коэффициент Стьюдента, равный tα = 2,26.
Критер й Стьюдента предложил английский ученый Уильям Госсет. Он в 1908 г. в журнале «Биометрик» опубликовал свою научную статью
под псевдонимом Student (Студент).
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
|
|
Значение коэффициентов Стьюдента tα |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
α |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,99 |
|
0,999 |
n = 2 |
6,31 |
12,71 |
31,82 |
63,66 |
|
636,62 |
3 |
2,92 |
4,30 |
6,96 |
9,92 |
|
31,60 |
4 |
2,35 |
3,18 |
4,54 |
5,84 |
|
12,94 |
5 |
2,13 |
2,78 |
3,75 |
4,60 |
|
8,61 |
6 |
2,02 |
2,57 |
3,36 |
4,03 |
|
6,86 |
7 |
1,94 |
2,45 |
3,14 |
3,71 |
|
5,96 |
8 |
1,90 |
2,36 |
3,00 |
3,50 |
|
5,40 |
9 |
1,86 |
2,31 |
2,90 |
3,36 |
|
5,04 |
10 |
1,83 |
2,26 |
2,82 |
3,25 |
|
4,78 |
Для оценки среднего арифметического значения Аср, принимаемого как окончательный результат измерения, указываются доверительные
границы Acp п (Acp ) Acp 3 Acp .
29
Для получения более точных результатов измерений размеров деталей, объёмов, силы, массы, времени, давления, температуры, силы тока, напряжения можно использовать данные, приведенные в табл. 3.2.
Таблица 3.2
Абсолютная инструментальная погрешность
|
|
|
|
|
|
|
СибАДИ |
||||||
|
|
Предел |
Цена |
Абсолютная |
|
|
|
редства измерений |
измерений |
деления |
инструментальная |
|
|
|
|
|
|
погрешность |
|
|
|
Линейка чертежная |
До 0,5 м |
1 мм |
± 0,2 |
мм |
|
|
Линейка стальная |
До 0,2 м |
1 мм |
± 0,1 |
мм |
|
|
Измер тельный ц л ндр |
До 250 см3 |
1 см3 |
± 1 см3 |
|
|
|
Штангенц ркуль |
150 мм |
0,1 мм |
± 0,05 мм |
|
|
|
Микрометр |
25 мм |
0,01 мм |
± 0,005 мм |
|
|
|
Динамометр уче ный |
4 Н |
0,1 Н |
± 0,05 Н |
|
|
|
Весы лабораторные |
200 г |
0,2 г |
± 0,1 г |
|
|
|
Секундомер |
0 – 30 мин |
0,2 с |
± 1 с за 30 мин |
|
|
|
Термометр лабораторный |
0 – 100 оС |
1 оС |
±1 оС |
|
|
|
мперметр |
2 |
0,1 А |
± 0,05 А |
|
|
|
Вольтметр |
6 В |
0,2 В |
± 0,15 В |
|
|
Если предельную погрешность устанавливают до измерений, то статистическую погрешность устанавливают по результатам неоднократных измерений. Обычно статистическая ошибка при измерении неизменной величины меньше предельной, т. к. отклонения отдельных измерений от средней не однозначны, как это принято для предельной погрешности. Если же измерения проводить грубо, статистическая погрешность может быть больше предельной. Точность разовых измерений оценивают только по предельной ошибке.
Точность косвенных измерений может быть значительно повышена применением многократных прямых измерений при неизменных условиях опыта.
На основании единичного замера нельзя делать никаких заключений, так как в силу случайных величин именно данное измерение может иметь особенно большую погрешность. Для уменьшения погрешности измерения число замеров должно быть не менее пяти.
На рис. 3.1 показаны различные виды измерительных приборов (длины, частоты вращения вала, размеров наружных и внутренних поверхностей деталей, давления, силы тока и напряжения).
30