Материал: 5560

Для x2

0 в качестве –0 и +0 возьмём соответственно –0,1 и +0,1:

а)

f

0,1

0,1

4

3,9

0

f

0

;

2

0,01

0,6

0,1

6

0,1

б)

f

0,1

0,1

4

4,1

0

f

0

.

2

0,01

0,6

0,1

6

0,1

1) а) f x

x 3

;

б) f x

x 2

;

в) f x

4 2x

;

x2

9

x2

4

x2

4

2) а) f x

x

1

;

б) f x

x

2

;

в) f x

2x

8

;

x2

4x 3

x2

3x 2

x2

5x 4

3) а) f x

x

3

;

б) f x

2

x

;

в) f x

1

4x

;

2x2

5x 3

6x x2 8

4x2

5x 1

4) а) f x

x2

x 6

;

б) f x

x2

2x

;

в) f x

x2

x 20

.

x2

4x 3

x2

5x 6

x2

5x

Пример 14. Пусть

f

x

6

3x

. Решив уравнение x2

3x 10

0, полу-

x2

3x 10

чаем корни x1

5 и x2

2 . В остальных точках функция непрерывна.

Подставив

x1

5 ,

получим

21

. Значит,

x1

5

– точка разрыва 2-го

0

рода. Уточним знак бесконечности:

а)

f

5,1

6

3

5,1

9,3

9,3

0

f

5

0

;

5,1 2

3

5,1

10

26,01

15,1

10

0,91

б)

f

4,9

6

3

4,9

8,7

0

f

5

0

.

4,9 2

3

4,9

10

0,69

Подставив x2

2 ,

получим

0

. В этом случае, как известно, надо упростить

0

6

3x

3 x 2

3

,

x2

3x 10 x 5 x 2 x 5

тогда f 2 0

3

3

независимо от того, как подходить к точке x2 2 .

2

5

7

ется с «–» на «+»;

x2 2 – точка устранимого разрыва, в которой функция стре-

мится к значению

3

.

7

ставив в функцию

f x

x

2,01

в качестве

x

2

0 число x

2,1, получим, что

x

2

2,1

2,01

0,09

0

, тогда как на самом деле

f

2

0

2

0

2,01

0,01

.

2,1

2

0,1

2

0

2

0

чае можно взять 2 0 2,001, тогда

2,001

2,01

0,009

0 даёт верный вывод.

2,001

2

0,001

Непрерывность некоторых сложных функций

Здесь даны примеры исследования на непрерывность функций f x a g x ,

значениях x существует сам показатель степень. Нет, число

x

3

подставить

нельзя – получится деление на 0. Значит, надо найти предел в точке x

3:

1

1

1

2 0

2 .

lim2 x 3

23 3

x 3

Но результат зависит от знака бесконечности. Основание

2

1 ,

а функция

g y

2 y возрастает на всей числовой оси, принимая значения от 0 до

. Зна-

чит, 2

0, а 2

.

1

1

а) f 3 0 2 3 0

3

2 0 2

0 ;

1

1

б) f 3 0 2 3 0 3

2 0 2

.

Итак, предел слева равен 0, предел справа равен

. Когда хотя бы с одной сто-

роны предел бесконечен, получается разрыв 2-го рода (бесконечный скачок).

Ответ: разрыв 2-го рода в точке x

3, предел слева 0, справа

.

1

Пример 16. Исследуем на непрерывность функцию

f

x 0,4 4 5 x .

Знаменатель не должен обращаться в 0.

Но 4

5x

0 , если x

0,8 . Находим

пределы слева и справа в точке

x

0,8 . Учтём, что основание 0,4

1 , и потому

функция g y

0,4 y убывает от

до 0, а именно, 0,4

и 0,4

0 .

1

1

1

а)

0,4 4

5 0,8

0

0,4 0

;

f

0,8

0

0,4 4

4

0

0,4

1

1

1

б)

0,4 4

5 0,8

0

0,4 0

f

0,8

0

0,4 4

4

0

0,4

0

(при раскрытии скобок 5 0

0 , но знак 0 меняется на противоположный).

Ответ: разрыв 2-го рода в точке x 0,8 ; предел слева равен

, справа – 0.

Пример 17. Найти точки разрыва функции f x

7

, определить их тип.

2

3x

1

5

а)

0,999

1

0,001;

б)

2

2 000

;

в) 3 2 000

0 ;

0,001

г)

0 5

5 ;

д)

7

1,4 .

5

Пусть теперь x

1,001. Тогда

а) 1,001

1

0,001;

б)

2

2 000;

в) 3 2 000

;

0,001

г)

5

;

д)

7

0 .

цию f x

6

, найдём точки разрыва, определим их тип.

1

29

3x

0,125

Возможны два проблемных случая:

а) в 0 обращается знаменатель 9

3x (очевидно, когда x 3);

1

б) в 0 обращается знаменатель всей дроби (когда 29 3x

0,125).

Эти случаи рассматриваются отдельно и независимо один от другого.

1-й случай. Пусть

x 3. Найдём пределы слева и справа тем же способом,

что в примере 17.

В качестве числа 3

0 возьмём x

2,999. Тогда

а)

3 2,999

8,997 ;

б)

9

8,997

0,003

в)

1

333 ;

0,003

г)

2333

;

д)

0,125

;

е)

6

0 .

Предел слева в точке 3 равен 0.

В качестве числа 3

0 возьмём x

3,001. Тогда

а)

3 3,001

9,003;

б)

9

9,003

0,003;

в)

1

333;

0,003

г)

2 333

0 ;

д)

0

0,125

0,125;

е)

6

48.

0,125

1

1

2-й случай. Пусть 29

3x

0,125, или, что то же самое, 29 3x

2 3 (учтём, что

0,125

1

1

2

3 ). Тогда

1

3

, поскольку функция g y

2 y монотонна.

23

8

9

3x

Значит,

9

3x

1

,

откуда

3x

9

1

28

, и

x

28

–

точка разрыва.

По-

3

3

3

9

скольку в ней получается

6

, разрыв будет 2-го рода.

0

Выясним знак бесконечности, если подходить слева и справа к точке x

28

.

9

Поскольку

28

3,111, в качестве

28

0

возьмём

x

3,1,

а в качестве

28

0

9

9

9

возьмём x

3,2 .

Пусть x

3,1, тогда

а)

3

3,1

9,3 ;

б) 9

9,3

0,3

в)

1

3,3;

0,3

г)

2 3,3

2 3 ;

д) знаменатель

0 ;

е)

6

.

0

Предел слева в точке x

28

равен

.

9

Пусть x

3,2 , тогда

а)

3

3,2

9,6 ;

б)

9

9,6

0,6

в)

1

1,67 ;

0,6

г)

2 1,67

2 3 ;

д) знаменатель

0 ;

е)

6

.

0

Итак, если подходить к x

28

слева, функция стремится к

, а если подхо-

9

дить справа – стремится к

.

Ответ: Функция терпит неустранимый разрыв 1-го рода в точке

x

3 , при

этом предел слева равен 0, а предел справа равен

48 . Кроме того, функция тер-

пит разрыв 2-го рода в точке x

28

, при этом предел слева равен

, а предел

9

справа равен

.

2

Пример 19. Исследуем на непрерывность функцию f

x

5

x 7

.

Понятно, что x

7 – точка разрыва. Но если x

7 , то всегда

x

7

0 .

Тогда

2

,

и степень положительна при любом аргументе, в том

x

7

числе при x

7 . Но при x

7 степень бесконечна, и получается 5

, или

.

Ответ: разрыв 2-го рода в точке x

7 , пределы и слева, и справа равны

.