Материал: 5560

нарушается, если

x

7 , или x

7 .

Пусть x

7 :

2

2

2

7,01

7

5200

а)

f

7,01

5

57,01 7

50,01

;

2

2

2

6,99

7

б)

f

6,99

5

56,99 7

5 0,01 5 200

0 .

Пусть x

7 :

2

2

2

6,99

7

5 200

а)

f

6,99

5

56,99 7

5 0,01

0 .

2

2

2

7,01

7

5200

б)

f

7,01

5

57,01 7

50,01

;

Ответ: разрыв 2-го рода в точках x

7 и x

7 . В 1-й точке предел слева ра-

вен

, предел справа равен 0; во 2-й точке – всё наоборот.

НФ11. Исследуйте функции на непрерывность, покажите схематично их по-

ведение вблизи точек разрыва:

2

2

2

2

1) а) f x

4 x 5 ;

б) f x

47 x ;

в) f x

4 x 3 ;

г) f x

43 x ;

2

2

2

2

2)

а)

f

x

0,5 x 5 ;

б)

f

x

0,57

x ;

в)

f

x

0,5 x 3 ;

г)

f

x

0,53 x ;

3

2

2

2

3)

а)

f

x

72 x 5 ;

б)

f

x

0,37

2 x ;

в)

f

x

43 4 x ;

г)

f

x

0,63 6 x .

2

2

1

2

1)

а)

f

x

4

x

5

;

б)

f

x

4

7

x

;

в)

f

x

0,3

x

3

;

г)

f

x

0,7

3

x

;

2

2

2

2

2)

а)

f

x

5

x

1 ;

б)

f

x

0,5

x

3 ;

в)

f

x

0,53

x

;

г)

f

x

53

2

x

;

1

2

2

2

3)

а)

f

x

8

2 x

6

;

б)

f

x

0,3

8

2 x

;

в)

f

x

4

3 4 x

;

г)

f

x

0,63

6 x

.

2

Пример 21. Пусть предложено выяснить, как функция

f

x

3x2

1 ведёт себя

в точках разрыва.

Распространённая ошибка – решая уравнение

x2

1

0 и считая, что точки

разрыва обязаны быть, раз о них речь в условии, взять x

1. На самом деле

а) уравнение x2

1

0 корней не имеет;

б) соответственно знаменатель дроби

2

в 0 не обращается;

x

2 1

в) поэтому дробь определена при любых значениях x;

г) тогда, поскольку 3 можно возвести в любую степень, вся функция также

определена при любых значениях x.

Никаких точек разрыва нет, функция непрерывна на всей числовой оси.

Пример 22. Исследуем на непрерывность функцию

f

x

arcsin x2

1 .

Функция

f

y

arcsin y

определена на отрезке

1

y

1.

Значит, должно

быть выполнено неравенство

1

x2

1

1, или

2

x2

0 . При этом

а) неравенство x2

2 выполнено при любом действительном x;

б) неравенство x2

0 выполнено только при x

0 .

Тем самым вся функция

f x

arcsin x2

1

определена в единственной точке

x 0 . Пределы слева и справа не имеют смысла.

Пример 23. Исследуем на непрерывность функцию

f

x

arcsin x2

1 .

Должно

выполняться

неравенство

1

x2

1

1

или,

что

равносильно,

0

x2

2 . При этом

а) неравенство x2

0 выполнено при любом действительном x;

б) неравенство x2

2 выполнено только при

2

x

2 .

Поскольку

и

не определены,

в 1-й точке функция непре-

f

2

0

f

2

0

рывна справа, а во 2-й – слева. На интервале

функция непрерывна.

2;

2