Материал: 5560

В случае неопределённости

0

следует разложить квадратичное выражение

0

на множители. Для этого можно

а) воспользоваться тождеством

ax2

bx

c

a x

x

x

x

2

,

где

x

и

x

2

–

1

1

корни уравнения ax2

bx

c

0, найденные по формуле

x

b

b2

4ac

;

2a

б) учесть, что, когда ax2

bx

c

0 , то

x

0

– один из корней, и другой корень

0

0

x2 можно найти по теореме Виета, например, из равенства x0 x2

q , где q

c / a ;

в) применить равенство ax2

bx

c

x

x

0

ax

d

, где d

c / x

0

.

Пример 7. lim

2x2

3x

1

2 12

3 1

1

0

lim

2 x

1

x

1/ 2

3x2

4x 7

3 12

4 1 7

0

3 x 1 x 7 / 3

x 1

x 1

lim

2 x

1/ 2

lim

2x

1

2 1

1

1

3 x 7 / 3

3x 7 3 1 7 10

x 1

x 1

(решили уравнения 2x2

3x

1

0 и 3x2

4x

7

0 и применили 1-й способ).

Пример 8. lim

4x2

3x

10

4

22

3 2

10

0

lim

4 x

2

x

1,25

x2

5x 6

22

5 1 6

0

x 2 x 3

x 2

x 2

lim

4 x

1,25

lim

4x

5

4 2

5

13 .

3

3

2 3

x

2

x

x 2

x

В уравнении 4x2

3x

10

0 свободный коэффициент –10 разделили на ко-

эффициент, стоящий перед x2

(число 4). Результат разделили на известный ко-

рень 2. Получили 2-й корень x2

2,5 / 2

1,25 .

Затем в уравнении x2

5x

6

0 нашли 2-й корень из условия 2x

6 , где 2 –

известный корень, а 6 – свободный коэффициент (Теорема Виета).

Пример 9.

lim

3x2

10x 3

3

3 2

10

3 3

0

5x2

8x 21

5

3 2

8

3 21

0

x

3

lim

x

3 3x

3 / 3

lim

3x

1

3

3

1

8

4

.

x

2

x

3 5x

21/ 3

x

3

5x

7

5

3

7

22

11

Скобка x 3

получена как x

x0

x

3 , а остальные найдены 3-м способом.

ПР6. Раскройте неопределённость

0

, разложив дробь на множители:

0

4) а)

lim

x3

3x2

2x

;

б)

lim

x4

4x

2 3

;

в) lim

2x2

x3

x

;

г)

lim

x3

2x

.

x2

x

x3

x2

x2

x3

x4

2x2

x 0

x 1

x 1

x 2

Пример 10.

lim

x4

x2 12

16 4 12

0

lim

x2

3 x2

4

x3

8

8 8

0

x 2 x2

2x 4

x 2

x 2

lim

x2

3 x 2 x 2

lim

x2

3 x 2

4 3 2 2

28

7

.

x 2 x

2

2x 4

x

2

2x 4

4 2 2 4

12

3

x

2

x

2

Пусть дана функция f

x

Pn

x

(см. стр. 16) и надо найти lim f

x

. Оказы-

Qm

x

x

вается, при x

вся дробь ведёт себя так, как отношение старших степеней:

P x

a

0

a x a

n

xn

a

n

xn

n

1

.

Q x

b b x b xm

b xm

m

0

1

m

m

P x

a

xn

a

xn

a

n

Тогда lim

n

lim

n

n

lim

. Обозначим

A

. Возможны 3 случая:

Q x

b xm

b

xm

b

x

x

x

m

m

m

m

1) n

m , тогда

A lim

xn

A lim

1

A

1

A 0

0 , где k

0 ( k

m

n );

x

m

x

k

x

x

2) n

m , тогда A lim

xn

A lim xk

A

, где k

0 ( k n

m );

x

x

m

x

3) n

m , тогда

A lim

xn

A lim1

A .

x

m

x

x

1)

а)

lim

3x

1

;

б)

lim

4x

7

;

в)

lim

3

7x

;

г)

lim

0,001x

;

д)

lim

3x

;

x

2x

1

x

3x

5

x

2x

3

x

x

1

x

x

100

2)

а)

lim

3x2

1

;

б)

lim

4x4

7

;

в)

lim

3

7x

4

;

г)

lim

0,001x

5

;

д)

lim

3x5

;

3

4

4

5

x

2x

1

x

3x

5

x

2x

3

x

x

1

x

x

100

3x2

x

x3

7x

3x

4

x6

x4

x2

0,1x4

3)

а)

lim

; б)

lim

;

в)

lim

;

г)

lim

;

д)

lim

;

x

2x x

3

x

x

2

5x

4

x

2x

5

3x

x

10x

3

x

10x

3

x

ПР8. Найдите пределы