Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Система, состоящая из присоединенных векторов разной высоты, соответствующих одному и тому же собственному значению, является линейно независимой (упр. 12.1) .

Канонический базис пространства, соответствующий линейному оператору φ, – это базис пространства, состоящий из присоединенных векторов линейного оператора φ.

Канонический базис, соответствующий линейному оператору евклидова пространства φ, существует в том случае, если все корни характеристического многочлена вещественны.

Матрица A( ) линейного оператора φ в каноническом базисе имеет жорданову форму.

3 3 2 3 1 ( 1)3,

1,2,3 1.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению

1:

Уже на данном этапе из того, что собственный вектор порождает одномерное пространство, можно заключить, что жорданова форма матрицы имеет вид

чтобы избежать процедуры возведения матрицы в степень, отметим один замечательный факт:

A E 2 v 0 A E 2 v A E u A E v u .

Таким образом, присоединенный вектор высоты 2 будем искать из уравнения

Найдем присоединенный вектор (высоты 3), соответствующий

2C

собственному значению 1 и собственному вектору u C :

C

A E 3 w 0 A E 3 w A E 2 v A E w v ,

67

Упражнения и задачи.

12.1.Доказать, что система, состоящая из присоединенных векторов разной высоты, соответствующих одному и тому же собственному значению, является линейно независимой.

12.2.Привести матрицу линейного оператора к жордановой форме (без указания канонического базиса):

12.3.Привести матрицу линейного оператора к жордановой форме, указать канонический базис:

69

12.4.Доказать, что размерность корневого подпространства, соответствующего собственному значению, равна алгебраической кратности этого собственного значения.

12.5.Доказать, что собственное подпространство содержится в соответствующем корневом подпространстве.

70