Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

			16
	u	*	4 4			.
	u	*	4 4		33	.
3

			1	33
			1	33

В базисе B u1o,u2*,u3* матрица оператора имеет диагональный вид:

			0	0
	1		0	0

			3 33
A ( ) 0			3 33	0			,
A ( ) 0				0			,
B			2
					3

		0	0			33

				2
				2

0		16		16


TB B 0		4 4 33		4 4 33 .	█

	1		33 1	1 33
	1		33 1	1 33

Пример 2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей

	0		0	1
A ( )		0 2		0	.
B
		4	0	0
		4	0	0

Проверить диагонализируемость матрицы оператора, перейдя в базис из собственных векторов.

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

		0	1
det(AB( ) E)	0	2	0	0,
	4	0

2 2 4 2 0,

2 4 2 0,

2 2 2 0,

1,2 2,

3 2.

Найдем собственные векторы, соответствующие собственному значению

1,2 2:

0 2		0	1	x		2 0			1 x			2x z 0
	0	2 2	0	y	0		0	0	0	y	0		,

												4x 2z 0
	4	0	0 2				4	0	2
				z						z

											x					C1
											y						C		2		,	C ,C			2	const.
																			2			1			2
											z						2C
																				1
Пусть C 0,C								2	1, тогда			u	o	(0,1,0).
	1							2		1
																											1
																	1

																											5
																											5
При C 1,C						2	0, получаем							u	*			0			или		u	o			0 .
	1					2									2							2
																		2									2
																		2									2

																											5
																											5
Найдем собственный вектор, соответствующий значению 3																												2:
2 0				1 x											2x z 0												2x z 0		x	C
	0 4			0	y				0																		2x z 0		y		0 .
	0 4			0	y				0						4y 0														y		0 .
																											4y 0
	4 0			2																							4y 0
	4 0			2	z										4x 2z 0														z		2C
														1
					1

														5
														5
Тогда		u	*			0			или	u	o			0		.
	3									3
														2
					2									2
					2
															5
															5

Найдем матрицы перехода и матрицу оператора в базисе B u1o,u2*,u3* :

	0		1	1
TB B		1 0		0	,

		0	2	2

TB B		1	0		4	0
	1	1
				2 0		1	,
		4		2 0		1	,
		4		2	0
				2	0	1

	TB B			1	0 4			0 0 0			1 0		1	1
AB		1	ABTB B
						2	0	1	0	2	0	1 0		0

				4		2	0		4	0	0	0	2	2
								1

	0		8	0 0		1	1		8 0			0	2 0			0		0	0
1																	1
		4	0	2	1 0		0	1						0	2	0	0		0	. ¶
										0	8	0
4		4	0	2	0	2	2	4						0	0	2	0	2
										0	0	8						0
																			3

Упражнения и задачи

11.1.Доказать, что собственные значения линейного оператора являются решением уравнения det A( ) E 0, где A( ) – матрица оператора в

каком-либо базисе.

11.2.Доказать, что собственные векторы линейного оператора удовлетворяют

уравнению A( ) iE	u		0, где	A( ) – матрица оператора в каком-
		i
либо базисе.

11.3.Доказать, что каждый собственный вектор u линейного оператора φ соответствует единственному собственному значению.

11.4.Доказать, что линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же собственному значению, тоже является собственным вектором, соответствующим данному собственному значению.

11.5.Доказать, что если к множеству всех собственных векторов оператора φ, соответствующих одному и тому же собственному значению λ, присоединить нулевой вектор, то получится подпространство U.

11.6.Доказать, что собственные векторы линейного оператора, соответствующие разным собственным значениям, линейно независимы.

11.7.Доказать, что линейный оператор в n-мерном линейном пространстве не может иметь более n собственных значений.

11.8.Доказать, что число собственных векторов, относящихся к некоторому собственному значению, не больше алгебраической кратности этого собственного значения.

11.9.Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного в некотором базисе матрицей AB( ).

	0			1	0
а) A ( )		4		4 0		;
B
		2		1	2
		2		1	2
		2		1		2
б) A ( )		5		3		3		;
B
		1		0
		1		0		2
	1		3		4
в) A ( )		4	7		8	;
B
		6	7		7
		6	7		7
	7		12			6
г) A ( )	10		19			10		;
B
			24			13
	12		24			13
	1		0	0		0
		0	0 0 0
д) A ( )		0	0 0 0				;
B	0		0	0		0
		1	0	0		1
		1	0	0		1
	1		0	0		0
		0	0 0 0
е) A ( )		0	0 0 0				.
B	1		0	0		0
		0	0	0		1
		0	0	0		1

12. Жорданова форма матрицы линейного оператора. Канонический базис

Жорданова клетка линейного оператора, соответствующая собственному значению , имеет вид

			1	0	0	0	0
		0		1	0	0	0

	0		0		1	0	0
Jk ( )		0 0		0		0	0
								.

			0	0	0		1
	0
		0	0	0	0	0

Нормальная жорданова форма матрицы линейного оператора – это матрица клеточно-диагонального вида, главная «диагональ» которой состоит из жордановых клеток, соответствующих собственным значениям линейного оператора:

	Jk ( 1)
		1
J(A)		0
J(A)

		0

0		0
Jk2 ( 2)		0
Jk2 ( 2)		0
			.
	J
0	J	( )
		km	m

Корневое подпространство линейного оператора с матрицей A( ), соответствующее собственному значению , – это ядро оператора

A( ) E k , где k – алгебраическая кратность (т.е. кратность как корня характеристического многочлена).

Размерность корневого подпространства равна алгебраической кратности соответствующего собственного значения (упр. 12.4).

Собственное подпространство содержится в соответствующем корневом подпространстве (упр. 12.5). Размерность собственного подпространства равна геометрической кратности соответствующего собственного значения.

Пусть φ – линейный оператор c матрицей A( ), u – собственный вектор оператора φ, соответствующий собственному значению λ, тогда присоединенный вектор v высоты k, соответствующий собственному значению λ и собственному вектору u , – это вектор, удовлетворяющий условию

A( ) E k v 0, при A( ) E k 1v 0.

Собственный вектор является присоединенным вектором высоты 1.

Источник: https://studfile.net/preview/16708994/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution