Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Упражнения и задачи

10.1.Доказать, что любой линейный оператор отображает нулевой вектор в нулевой вектор.

10.2.Доказать, что ядро линейного оператора является подпространством.

10.3.Доказать, что сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства.

10.4.Доказать, что ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в любом базисе.

10.5. Доказать,

что

при

переходе

от базиса

e1,

e2,...,

к базису

e',

e',...,

матрицей

перехода

матрица

линейного

1 2

B B'

оператора меняется согласно равенству A

( ) T

A ( ) T

B B' B

B B'

10.6. Выразить формулой линейный оператор 3, задать матрицу оператора в

1 0 0

базисе 0 , 1 , 0 , если (x):

0 0 1

а) ортогональное проектирование на прямую x y z ; 3 2 1

б) ортогональное проектирование на плоскость x y 0;

в) проектирование на плоскость x y 0 параллельно прямой x 2y

x y z 0

г) проектирование на прямую 2x 3y 4z 0 параллельно плоскости

д) ортогональное отражение в плоскости 2x 3y 4z 0;

е) отражение в плоскости y 0 параллельно прямой 2x y z .

z 1;

										1 0 0


10.7. Записать	матрицу линейного оператора (							x	)	в базисе	0	,	1	,	0	и
											0		0		1
											0		0		1


	1 2 1
в базисе		1		1		0	:
в базисе		1	,	1	,	0	:
		0		0		1
		0		0		1

а)

б)

в)

г)

x1			x3
x	2		x				;
	2			1
x				0
	3
x1			x1 x3
x		2			2x					;
		2		x			1
x				x		2
		3		2
x1			x1 x3
						0				;
x2						0				;
x					x		2
	3						2
x1			x1 x2 x3
x	2				x x					.
	2					1			2
x							x	2
	3							2

																															1 0 0


10.8. Дана матрица линейного оператора (																										x	)			в базисе		0	,	1	,	0	, найти
																																0		0		1
																																0		0		1

матрицу оператора в базисе В' , если
матрицу оператора в базисе В' , если
		1 2					5						2 3 1

а) A	( )			7 11 20						,	В'				3				4		,			2				;
а) A	( )			7 11 20						,	В'				3	,			4		,			2				;
B
				3 5 8											1				1					2


		2 5							1				1 1 0
б) AB( )				1		3			0																		1
б) AB( )				1		3			0	, В' 1								, 3							,		1			;
																				0							3
				2 3 2									1							0							3
		5 0 1										0 3 3

в) A	( )			2 0 2				, В'					1				2						2						;
в) A	( )			2 0 2				, В'					1		,		2			,			2						;
B
				3 0 3									0	1									3


			15			11				5					2 3 1

г) A	( )				20	15				8							3					4							2		.
г) A	( )				20	15				8		, В'					3		,			4			,				2		.
B
					8	7				6							1					1							2

11. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Диагонализируемый линейный оператор линейного пространства U –

это оператор, матрица которого в каком-либо базисе пространства U имеет диагональный вид.

Собственное значение линейного оператора определяется равенством

u U, u 0: (u ) u ,

вектор u при этом называется собственным вектором линейного оператора, соответствующим собственному значению .

Собственные значения линейного оператора являются корнями

характеристического многочлена

det A( ) E 0,

где A( ) – матрица оператора в каком-либо базисе (упр. 11.1).

Собственные векторы удовлетворяют уравнению (упр. 11.2)

A( ) iE u i 0.

Последняя система является совместной и неопределенной (т.к. она однородна и det A( ) E 0), т.е. имеет бесконечно много решений.

Как следует из определения, при действии линейного оператора его собственные векторы изменяются «минимально» – только растягиваются или сжимаются, возможно, меняя направление на противоположное. Таким образом, векторы, соответствующие одному и тому же собственному значению

вместе с вектором 0 образуют инвариантное подпространство линейного оператора, которое называется собственным подпространством.

Замечание. Собственное подпространство линейного оператора с матрицей A( ), соответствующее собственному значению , является ядром линейного оператора с матрицей A( ) E . Если собственным значением

является 0, то соответствующие собственные векторы (вместе с нулевым вектором) составляют ядро оператора.

Если собственные векторы линейного оператора образуют базис B пространства U, то в этом базисе матрица линейного оператора имеет диагональный вид: AB ( ) i i 1,n .

Размерность собственного подпространства, соответствующего собственному значению , называется геометрической кратностью собственного значения . Заметим, что геометрическая кратность не обязана совпадать с алгебраической кратностью.

Пример 1. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного в некотором базисе матрицей

	1		2	0
A ( )		4 2		0	.
B
		1	0
		1	0	1

Решение. Составим и решим характеристическое уравнение:

	1	2	0
det(AB( ) E)	4	2	0	0,
	1	0	1

1 2 2 8 1 0,

1 1 2 8 0,

1 2 3 6 0,

1,			3 33	.

1	2,3	2

Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению 1 1:

1 1		2	0 x			0		2	0 x			2y 0
	4	2 1	0		0		4	1	0		0
	4	2 1	0	y	0		4	1	0	y	0	4x y 0,
	1	0					1	0	0
	1	0	1 1 z				1	0	0	z		x 0

	x		0
u	y		0	,	C const .
1

	z	C

Нормируем полученный вектор:
			(0,0,C)	0
	u	o	(0,0,C)	0	.
	u	o		0	.
1			02 02 C2
			02 02 C2	1
				1
							3		:
Найдем собственный вектор, соответствующий значению							3	33
Найдем собственный вектор, соответствующий значению
					2	2
						2

	3	33
1			2
1		2	2
		2
	4		2	3 33
				3 33

		2
	1	0
	1	0

	0
	0
			x
	0			0
	0		y	0

			z
1	3	33	z

	2
	2

	1		33			x 2y 0

			2
			2
				1 33
4x				1 33				y 0 .
4x								y 0 .
			2
		1			33
x							z 0
x			2				z 0
			2
												16
									u	2*

Решением системы будет, например, вектор											4 4				33 .

													33 1
													33 1
Найдем собственный вектор для значения											3			.
											3	33

							3				2
											2

	3	33
1			2
1		2	2
		2
	4		2	3 33
				3 33

		2
	1	0
	1	0

1 33			x

	2
	2
		1	33
4x		1	33
4x
	2
	1		33
x	1		33
x	2
	2

	0
	0
			x
	0			0
	0		y	0

			z
1	3	33	z

	2
	2

2y 0

y 0 ,

z 0

Источник: https://studfile.net/preview/16708994/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution