Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Упражнения и задачи

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду.

15.1.5x2 6xy 5y2 1.

15.2.17x2 12xy 8y2 1.

15.3.5x2 6xy 5y2 10x 6y 4 0.

15.4.17x2 12xy 32x 8y2 16y 16 1.

15.5.3x2 10xy 8x 3y2 8y 5 0.

15.6.x2 2xy 4x y2 4y 1 0.

15.7.3x2 10xy 3y2 0.

86

16. Поверхности второго порядка

Поверхность второго порядка – это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют общему уравнению

a11x2 a22y2 a33z2 a12xy a13xz a23yz a1x a2y a3z a0 0.

Уравнение можно записать в матричном виде:

 

 

 

 

 

 

 

a12

 

a13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

a12

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

y z

 

 

 

a

 

a23

y

 

a a

a

y

 

a

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

2

 

 

 

22

2

 

 

 

1 2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a13

 

 

 

a23

 

 

 

 

z

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

33

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходя к ортонормированному базису из собственных векторов матрицы квадратичной формы, уравнение можно привести к виду

x y z

T

1

 

0

0

 

 

 

 

x

 

 

0

 

 

 

0

T

 

 

y

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

B

ОНБ

 

 

 

 

 

 

ОНБ B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x '

 

y

' z '

 

0

 

0 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ' y '

z ' T

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a a

 

a

T

 

T

 

 

 

y

 

a 0

 

 

 

 

B ОНБ

 

 

 

0

 

 

 

1

 

2

3

ОНБ

B

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x '

y '

z ' T

 

 

 

 

 

Выделяя полные квадраты по переменным, получим канонический вид уравнения. Типы поверхностей второго порядка сводятся к следующим:

 

 

x x

2

 

 

 

 

y y

o

2

 

 

z z

o

2

1)

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, эллипсоид (рис. 3а);

a

2

 

 

 

b

2

 

 

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

2

 

 

 

y y

2

z z

 

2

 

 

 

 

2)

 

 

o

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

1, гиперболоид однополостный (рис. 3б);

 

a

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

2

 

 

 

y y

2

z z

 

2

3)

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

1, гиперболоид двуполостный (рис. 3в);

 

a2

 

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

2

 

 

 

 

y y

2

 

 

z z

o

2

4)

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

o

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0, конус (рис. 4а);

 

a

2

 

 

 

 

b

2

 

 

 

 

 

 

c

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

87

 

x x

2

y y

2

5)

 

o

 

 

o

 

2p z zo , параболоид эллиптический (рис. 4б);

a

2

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

x x

2

y y

2

6)

 

o

 

 

 

o

 

2p z zo , параболоид гиперболический (рис. 4в).

a

2

 

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

z

zo с z

a b

zo

 

yo

y

 

 

y

xo

yo

xo

 

 

 

x

x

б) Однополостный а) Эллипсоид. гиперболоид

Рис. 3.

 

 

z

 

z

 

 

 

zo

 

zo

 

с

 

yo

y

 

 

 

y

y

o

 

o

x

 

xo

 

x

 

 

 

 

x

 

б) Эллиптический

а) Конус

 

параболоид

 

 

 

 

Рис. 4.

z zo

с

yo y

xo

x

в) Двуполостный гиперболоид

z

zo

yo

y

xo

x

в) Гиперболический параболоид

Все поверхности второго порядка, в каноническое уравнение которых входят не все переменные, называются цилиндрическими. Цилиндрические поверхности «вытянуты» вдоль отсутствующей в уравнении координатной оси

88

и полностью определяются своими направляющими – кривыми второго порядка.

Упражнения и задачи

Привести уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду.

16.1.x2 2x 4y2 8y z2 2z 2 0.

16.2.5x2 5y2 6xy 8x 8y z2 0.

16.3.6x2 6y2 17z2 8xy 14xz 14yz 4 0.

16.4.17x2 5y2 5z2 14xy 14x 10yz 10x 2y 2z 2 0.

89

Контрольная работа 1. Циклические группы

Построить циклическую группу, порожденную данной подстановкой :

1)указать порядок группы;

2)указать обратный элемент к порождающему элементу группы;

3)вычислить 120 .

1

2

3

4

5

6

 

Вариант 1.

6

3

1

5

4

2

.

 

 

1

2

3

4

5

6

 

Вариант 2.

6

1

3

5

4

2

.

 

 

1

2

3

4

5

6

 

Вариант 3.

2

6

3

5

4

1

.

 

 

1

2

3

4

5

6

 

Вариант 4.

3

4

5

6

2

.

1

 

1

2

3

4

5

6

 

Вариант 5.

6

5

4

3

2

1

.

 

 

Вариант 6.

1

2

3

4

5

6

 

 

6

3

1

5

4

2

.

 

 

 

Вариант 7.

1

2

3

4

5

6

 

 

2

4

1

3

6

5

.

 

 

 

Вариант 8.

1

2

3

4

5

6

 

 

6

3

2

5

4

1

.

 

 

 

90

Источник: https://studfile.net/preview/16708994/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution