Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

1)при ненулевых коэффициентах 1, 2 можно выделить полные квадраты и привести равенство к виду 1 x' x0 2 2 y' y0 2 c 0;

2)при только одном ненулевом коэффициенте, допустим, 1 0 равенство приводится к виду 1 x' x0 2 y' y0 2 0.

«Новые» переменные x'',y'' являются линейным преобразованием

«старых» x,y , а именно, получены в результате поворота и параллельного переноса системы координат.

Каноническим уравнением кривой второго порядка называется уравнение, приведенное к виду:

Нормальной формой уравнения кривой второго порядка называется каноническое уравнение, в котором коэффициенты перед полными квадратами равны 1.

Замечание. Собственные векторы матрицы размера 2х2, а следовательно, и матрицы перехода к базису из собственных векторов можно всегда подобрать

характеристического многочлена в случае a12 0 являются различными вещественными числами, следовательно, собственные векторы ортогональны (упр. 13.6 и 13.7) и могут быть выбраны в виде пары

Тогда для матрицы перехода имеют место равенства:

Кривые второго порядка разбиваются на несколько типов в зависимости от знаков коэффициентов канонического уравнения. Все невырожденные варианты сводятся к трем случаям:

2) x xo 2 y yo 2 1, гипербола (рис. 1б); a2 b2

3) y yo 2 2p x xo , парабола (рис. 1в).

y

р

р

x0 x

в)

Рис. 1.

Пример. Привести уравнение кривой второго порядка

x2 4xy y2 x y 1 0

к каноническому виду. Построить чертеж.

82

Найдем ортонормированный базис из собственных векторов и приведем матрицу А к диагональному виду. Для этого вычислим собственные значения матрицы А:

Найдем собственные векторы:

При переходе в ортонормированный базис коэффициенты изменятся следующим образом:

83

Уравнение может быть записано в альтернативных формах:

3 x y 2 x y 1 2 1,

3x 3y 2 x y 1 2 1 (нормальная форма).