Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

5. Евклидовы кольца. Кольцо многочленов над полем

Норма – это функция :M , которая ставит в соответствие каждому элементу а некоторого кольца M, , число (а) и такая, что:

Например, если рассмотреть кольцо целых чисел, то в качестве нормы можно взять модуль числа (проверить аксиомы нормы предлагается самостоятельно).

Норма позволяет ввести в кольце процедуру деления с остатком.

Если r = 0, то говорят, что a делится на b a b или b делит a (b | a).

Наибольшим общим делителем (НОД) элементов кольца a и b

называется такой элемент кольца d, который делит и a, и b, при этом любой другой элемент с таким свойством обязательно делит d.

Если НОД(a,b)=1, то a и b взаимно простые.

Наименьшим общим кратным (НОК) элементов кольца a и b

называется такой элемент кольца c, который делится и на a, и на b, при этом любой другой элемент с таким свойством обязательно делится на c. Если a и b взаимно просты, то НОК(a,b)= a×b. В общем случае, если НОК(a,b)= d, то НОК(a,b)= a×b:НОД(a,b).

Евклидово кольцо – это кольцо, в котором определено деление с

Алгоритм деления многочленов подобен алгоритму деления чисел «уголком».

Пример 1. Представить в виде суммы целой части и правильной дроби (т.е. рациональной дроби, у которой степень многочлена в числителе строго

меньше степени многочлена в знаменателе) рациональную дробь 3x3 4x2 2 . x2 1

26

Шаг 2:

4x2 3x 24x2 4

Алгоритм Евклида (нахождение НОД(a,b)).

1)Разделим с остатком a на b: a qb r.

2)Если r не равен 0, то разделим b на r: b q1r r1.

3)Если r1 не равен 0, то разделим r на r1:

rq2r1 r2 .

4)Если r2 не равен 0, то разделим r1 на r2 :

r1 q3r2 r3.

…

i) Если ri не равен 0, то разделим ri 1 на ri :

ri 1 qi 1ri ri 1.

Продолжаем процедуру деления, до последнего ненулевого остатка rn :

Решение.

а) Используем алгоритм Евклида.

Над полем , , НОД f (x),g(x) =x2 1.

Замечание. Обратите внимание, что вместо 9x2 9 в качестве НОД мы

качестве НОД двух многочленов всегда берётся тот, старший коэффициент которого равен 1.

3x5 3x4 15x3 15x2 12x 12.

б) Пересчитаем коэффициенты многочленов в поле вычетов по модулю 5:

f (x) 3x4 2, g(x) x3 4x2 4x 1.

Применим алгоритм Евклида, выполняя все операции в поле вычетов F5, , :

3x5 2x4 2x 3. █

Упражнения и задачи

5.1.Доказать, что в кольце x , , в качестве нормы многочлена можно взять его степень.

5.2. Найти НОД f (x),g(x) и НОК f (x),g(x) многочленов

5.4. Найти НОД f (x),g(x) и НОК f (x),g(x) многочленов

f (x) x4 1, g(x) x3 x 1 над полем

а) , , ;

б) F3, , ;

в) F5, , .

5.5. Найти НОД f (x),g(x) и НОК f (x),g(x) многочленов

f (x) x7 8x3 9, g(x) x4 5x 6 над полем

а) , , ;

б) F3, , ;

в) F5, , .

29

6. Линейное пространство. Линейная зависимость векторов

Линейное (векторное) пространство U над полем F M, , с

бинарной операцией

:U2 U (сложение элементов пространства)

U

иунарными операциями, определенными для каждого числа из поля

:U U (умножение вектора на скаляр)

определяется следующими аксиомами:

UU

3)u U u U : u ( u) ( u) u 0;

UU

4)u,v U u v v u U ;

U U

5) F u,v U (u v) u v U ;

Условия 1) – 4) означают, что U, – абелева группа. Условия 5) – 8) задают

U

свойства умножения элементов пространства на число из поля. Элементы линейного пространства называются векторами.

Замечание. Символ умножения на число из поля обычно пропускают.

при этом называются коэффициентами линейной комбинации. Тривиальная линейная комбинация – это линейная комбинация, все коэффициенты которой равны 0.

30