Материал: 656_Lytkina_D.V._Algebraicheskie_struktury_

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Решение. Найдем базы линейной оболочки каждой системы векторов. Составим матрицу, строки которой – векторы системы. Приведем матрицу с помощью элементарных преобразований строк к виду, где в каждой строке не более одного ненулевого элемента, причём в разных строках – на разных позициях:

3		4	0	2		3		4	0	2		0		4	0	0
	6	8	0	0	a2 2a1		0	0	0	4	4a1 2a2 a3		0	0	0	4
					6a3 a4						2a4 3a2
	2	1	0				12 0		0	0			12	0	0	0	.
				1`
	0	6	0	6			0	6	0	6			0	0	0	0

Размерность линейной оболочки первой системы векторов равна 3. В

1 0 0

качестве базы можно взять векторы 0 , 0 , 1 .

0 0 00 1 0

1		0 1 0			1 0		1	0	a a		4		1 0 0		0
			a 3a						1
	3 0 1 0					0 0	2	0	a 2a					0 0 0 0
			a2	2a1					a2	a		4

2		0 1 0	3	1	0 0		1	0	3		4		0 0 0		0 .

	0	0 1 0				0 0	1	0						0 0 1	0

Размерность линейной оболочки второй системы векторов равна 2. В

1 0

качестве базы можно взять векторы 0 , 0 .

0 10 0

База суммы подпространств может быть найдена как линейно независимая подсистема объединения баз:

1		0	0	0		1		0	0	0
	0	0	0	1			0	0	0	1
					a4
0 1			0	0		a1			0	0 ,
					0 1

		0	0	0			0	0	0	0
1
	0	0	1 0				0	0	1	0

1 0 0 0

0 , 0 , 1 , 0 .0 0 0 10 1 0 0

Размерность суммы линейных оболочек равна 4.

Размерность пересечения оболочек найдем по формуле Грассмана:

dim U V dimU dimV dim U V 3 2 4 1.

Если вектор принадлежит пересечению, значит, он является линейной комбинацией векторов базы каждой линейной оболочки:

														1		0			0

	1 0 0				1 0						x	a 0			b 0		c 1
	1 0 0				1 0									0		0			0
		0 0	1					0
						0								0		1			0
						0								0		1			0
x	L , ,			L	,									1		0
	0 0 0				0 1									1		0
														0		0
		0 1	0			0		0						0		0
										x d f
														0		1

														0		0
				a		d

				c			0		a d,			b 0,			c 0,			f 0.
				0			f
							0
				b			0
														1

В качестве базы пересечения можно взять вектор 0																.							█
														0

														0
												0						3 6 2
													6						4		8		1
	Пример 2. Найти координаты вектора												6	в базисе					4	,	8	,	1
	Пример 2. Найти координаты вектора													в базисе						,		,		.
												0						0 0 0

												6							2 0 2
												6							2 0 2
										37

0					3			6		2

Решение.	6		=a		4		b		8	c	1	, следовательно,
0					0			0		0
	6										2
	6				2				0		2
	0					3a 6b 2c						3a 6b 2c 0,
			6					4a 8b c
			6	=a				4a 8b c					4a 8b c 6,
				=a					0			и	4a 8b c 6,
			0						0					2a 2c 6.
			6					2a 2c						2a 2c 6.
			6					2a 2c
	3			6	2			0		aa1:3:4		1	2	2/3	0
	3			6	2			0		aa1:3:4		1	2	2/3	0
										2
		4		8	1			6		a3:2			2	1/4	3/2
		4		8	1			6				1	2	1/4	3/2

		2 0 2						6				1	0 1		3
		2 0 2						6				1	0 1		3

a	2	a	1		2
		1
a3		a1		0	0

				0	2

a a		(2/3)	1		2
1	2
a3	a2 (1/3)			0	0

				0	2

2/3	0		1		2	2/3	0
5/12	3/2	a2 ( 12/5)		0	0	1	18/5

1/3	3			0	2	1/3	3


										3
									a		,
									a		,
0	12/5	a1 a3	1		0	0	3/5			5
										5
										9
		a3:( 2)								9
1	18/5			0	0	1	18/5	b				,
1	18/5			0	0	1	18/5	b		10		,
0	9/5			0	1	0	9/10			10
				0	1	0	9/10			18
										18
								c					.
								c					.
										5

		0						3						6			2
			6				3			4			9		8	18		1
		Итак,		=															. Следовательно,						координаты вектора
		Итак,		=															. Следовательно,						координаты вектора
		0					5 0					10		0		5	0
																		2
			6							2					0			2
																								3 6 2
																				3					4		8		1		3
																				3					4		8		1		3

0			3 6 2																			0				,		,	0
																										,		,
																			5						0		0				5
																			5						2		0		2		5
	6				4				8			1							9				6		2		0		2		9
	6				4				8			1							9				6								9
		в базисе				,					,				равны						или											█
		в базисе				,					,				равны						или											█
0			0 0 0															10				0								10
																			18												18
6			2 0 2																			6
																															5
																			5												5

Упражнения и задачи

7.1.Доказать, что координаты вектора в базисе определяются однозначно.

7.2.Доказать, что любая линейно независимая система векторов содержится в некотором базисе.

7.3.Доказать, что любое линейное пространство размера n взаимно однозначно соответствует арифметическому пространству строк n .

7.4.Доказать, что система x2 y2,x2 y2, x y 2 , x y 2

порождает линейное пространство квадратичных форм:

f (x,y) a x2	a xy a		22	y2	,	a ,a ,a , .
11	12		22			11	12	22
7.5. Доказать, что система	1 0				0 0			0 1		порождает
7.5. Доказать, что система	E1	,	E2				,	E3		порождает
		0 0				0 1			1 0

линейное пространство симметричных квадратных матриц размера 2х2.

7.6.При каком значении линейно зависима система векторов:

	3			6					2


а) a		4	,b		8
а) a		4	,b		8	,c		12			;
		2			7
		2			7
	3			6					2


б) a		4	,b		8		,c	12				;
		2							7
		2							7
	3			6					9


в) a		4	,b		8		,c					;
в) a		4	,b		8		,c	12				;
		2							6
		2							6
	3			6				2


г) a		4	,b		8	,c				.
		2							7
		2							7

7.7.Найти все базы системы векторов:

		1				1				3
			2				2			6
а)				,				,			;
а)	a			,	b			,	c		;
		0				3				0
			0				4			0
			0				4			0

			1							2						3						4
				2							3						4						5
б)						,						,							,					;
б)		a				,		b				,	c						,	d				;
			3							4						5						6
				4							5						6						7
				4							5						6						7
			2								4							6							1

в)				1			,					2		,					3						1 ;
в)	a			1			,		b			2		,	c				3		,d				1 ;
			3								6							9							1
				1								2
				1								2							3						1
			1							2						3						4					1


г) a				2	,b						3	,c					2	,d					3		,	f	1 .
				3							4						3						4
				3							4						3						4				1

7.8.Доказать, что система векторов a,b,c является базисом, найти координаты вектора x в базисе a,b,c :

	1				1				1						6


а) a			,b			1	,c			2			x
а) a	1		,b			1	,c			2	,		x		9	;
						2				3
	1					2				3					14
	2					3					1					6


б) a		1		,b			2	,c				1		,	x		2	.
		3										1					7
		3				5						1					7

7.9.Найти координаты многочлена f (x) a0 a1x a2x2 ... anxn в базисах а) 1,x,x2,...,xn ;

б) 1, x a , x a 2 ,..., x a n.

7.10.Доказать, что базой прямой суммы подпространств является объединение каких-либо баз слагаемых.

Источник: https://studfile.net/preview/16708994/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
[БИЛЕТЫ] IMK №3
00601
01. Концепция БД
02_ЛР
02. РСЧС_ВСМК_Таблица
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
0501_Конунников_ЛР№2
06-20-DatabasesGenomEvolution