Материал: PAKhT_LEKTsII_1sem

Многие процессы настолько сложны, что удается только дать математическую формулировку задачи и поставить условия однозначности. Полученные же дифференциальные уравнения часто не решаются известными в математике методами.

Иногда даже не удается составить систему дифференциальных уравнений, полностью описывающих процесс. Решением исходных дифференциальных уравнений в таких случаях являются обобщенные уравнения , полученные с применением теории подобия и основанные на экспериментальном материале. Эти уравнения затем используются в инженерной практике.

Моделирование с помощью теории подобия основывается на изучении процесса,

проходящего в промышленном аппарате (натуре) и на модели. Под моделью подразумевается материальная модель, в отличие от математической или мысленной. Это

- физическое моделирование, при котором изменяются масштаб установки, физические свойства вещества и т.д., но физическая сущность изучаемого в модели процесса остаются той же, что и в оригинальном аппарате.

Различают следующие виды подобия:

1) Геометрическое подобие предполагает, что сходные размеры натуры и модели параллельны, а их отношение выражается постоянной и равной величиной.

Представим, что изучается сложное явление - движение газов во вращающемся цилиндре (барабанной сушилке). Чтобы исследовать процесс, строится модель, при соблюдении геометрического подобия.

Рис.6.1.Соотношение натуры и модели

Геометрическое подобие требует, чтобы были равны отношения всех сходственных линейных размеров натуры и модели: d1/d2 = L1/L2.

Если рассматриваемая система - натура - находится в движении, то все ее точки при наличии геометрического подобия должны перемещаться только по подобным

2

траекториям сходственных точек подобной ей системы - модели, и должны проходить геометрически подобные пути.

Равенство всех сходственных линейных размеров определяется как геометрическое подобие: d1/d2 = L1/L2 = l1/l2 = al = const , где al - безразмерное число, константа подобия или масштабный множитель, равный отношению однородных сходственных величин в подобных системах.

al позволяет перейти от размеров одной системы к размерам другой.

2) Временное подобие предполагает, что сходственные точки или части геометрически подобных систем (модели и натуры), двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути в промежутки времени, отношение которых является постоянной величиной: T1/T2 = t1/t2 = at = const.

at -константа временного подобия, T1, T2, t1, t2 - промежутки времени в модели и натуре.

При соблюдении геометрического и временного подобия будет соблюдаться также

иподобие скоростей: v1/v2 = av .

3)Подобие физических величин предполагает, что в рассматриваемых подобных системах (натуре и модели) отношение значений физических величин двух любых сходственных точек или частиц, подобно размещенных в пространстве и времени, есть

величина постоянная. Чтобы физическое явление было подобным, необходимо:

µ1/µ2 = aµ , ρ1/ρ2 = aρ или u1/u2 = au , где u1 и u2 -совокупность физических величин.

Следует отметить, что физическое подобие включает не только подобие значений физических параметров, по и подобие совокупности значений физических величин или полей физических величин.

4) Подобие начальных и граничных условий предполагает, что начальное состояние и состояние на границах систем подобны, т.е. отношения основных параметров натуры и модели в начале процесса и на границах систем постоянны.

Это условие может соблюдаться лишь в случаях, когда для начальных условий и условий на границах выдерживаются геометрическое и физическое подобие.

Свойства констант подобия

1)Константы подобия являются постоянными для двух сходственных точек натуры

имодели (но они не равны между собой): al ≠ at ≠ aµ ≠ aρ

2)В зависимости от соотношения (масштаба) натуры и модели константы подобия могут изменяться.

3

3) Входящие в константы подобия одноименные величины могут взаимно заменяться: L1/L2 = l1/l2 = ( L1- l1)/( L2- l2) = d1 l1/d2 l2 и т.д.

Инварианты подобия и критерии подобия

Подобные явления можно выражать с помощью инвариантов подобия.

Инвариант подобия - отношение какой-либо величины данной системы к определенной одноименной величине в той же системе, при этом все подобные величины выражаются в относительных единицах.

Так: L1/d1/= L2/d2 = il = const = idem = inv - инвариантно, где il - инвариант подобия геометрических величин.

Аналогично можно записать: T1/t1 =T2/t2 = it .

Свойства инвариантов подобия

1)В сходственных точках подобных систем инварианты подобия для одних и тех же величин равны: il1 = il2 .

2)Инварианты подобия для различных величин между собой не равны: il ≠ it ≠ iρ .

3)При изменении масштаба модели и натуры инварианты подобия не изменяют свою величину.

Инварианты подобия, выраженные отношением простых однородных величин,

называют симплексами.

Инварианты подобия, выраженные через соотношения разнородных величин и представляющие собой безразмерные комплексы, называют критериями подобия.

Критерии подобия обозначают именами выдающихся ученых, например, критерий Рейнольдса.

Критерии подобия получают подобным преобразованием дифференциальных уравнений, описывающих какой-либо процесс.

4

Теоремы подобия

Теория подобия ее практическое применение к исследованию технологических процессов основаны на трех теоремах подобия.

1-я теорема, Ньютона

Подобные между собой явления имеют равные критерия подобия.

Т.к. в подобных системах критерии подобия равны, то отношение критериев подобия натуры и модели всегда будет равно единице.

Теорема отвечает на вопрос, какие величины необходимо измерять во время эксперимента: величины, входящие в критерии подобия.

2-я теорема. Бэкингема, Афанасьевой-Эренфест

Любое дифференциальное уравнение, связывающее между собой переменные,

характеризующие какой-либо процесс, может быть представлено в виде зависимости между критериями подобия.

f(K1, K2, K3,...,Kn) = 0 - обобщенное критериальное уравнение, Кi -критерий подобия.

Если в критерии подобия есть величина, не входящая в условия однозначности,

такой критерий называют определяемым. В него входит величина, которую требуется определить, решая уравнение.

Тогда: K1= f(K2, K3,...,Kn) или K1 A K2p K3q Kns ,

где A, p, q, s – экспериментальные константы.

Данная теорема отвечает на вопрос, как нужно обрабатывать экспериментальные данные: в виде зависимости между критериями подобия.

3-я теорема. Кирпичева-Гухмана

Подобны те явления, условия однозначности которых подобны, а определяющие критерии, составленные из условий однозначности, численно равны.

С помощью теории подобия исследования проводят в два этапа:

1)Проводят подобное преобразование дифференциального уравнения,

описывающего процесс, и получают критерии подобия; 2) Опытным путем на моделях устанавливают конкретный вид зависимости между

критериями подобия, получая при этом обобщенное расчетное уравнение.

5

Это уравнение работает в исследованных пределах изменения определяющих

критериев.

Недостатки теории подобия

1)Теория не может дать больше того, что содержится в исходных дифференциальных уравнениях. Если исходные уравнения неверно описывают физическую сущность процесса, то и полученные с помощью теории подобия зависимости будут неверными.

2)Физическое моделирование всегда связано с проведением эксперимента на модели, иногда довольно сложного и длительного. Полученные обобщенные уравнения надежно работают только в интервалах переменных, которые были использованы в экспериментах.

Гидродинамическое подобие

Движение вязкой жидкости описывается уравнением Навье-Стокса. Запишем его

умножается на соответствующие константы подобия, причем последние как постоянные

величины, выносятся за знак дифференциала.