Материал: PAKhT_LEKTsII_1sem

Рис.10.1. К выводу балансовых уравнений переноса

В газовой или жидкой среде, находящейся в движении, выделим произвольный объѐм V, ограниченный поверхностью А (рис. 10.1). На поверхности А выделим элемент поверхности dА и представим его в векторной форме, умножив на единичный вектор ,

Накопление внутри объёма = Вход – Выход + Образование

Примем, что в произвольном объеме нет источников субстанции или стоков, т.е.

образование равно нулю.

Плотность потока субстанции через элементарную площадку будет Знак “–“ в этом произведении делает входящие потоки положительными, а

выходящие – отрицательными.

Результирующий поток массы или энергии (Вход минус Выход) будет получен суммированием всех потоков через замкнутую поверхность A:

A

Таким образом, физически этот интеграл представляет разницу между входящими и выходящими потоками субстанции через всю поверхность А.

4

Если в объѐме V происходит накопление субстанции, то это вызовет изменение потенциала переноса во времени ddt , которое для элементарного объѐма dV можно

Согласно теореме Остроградского-Гаусса, дающей преобразование интеграла,

взятого по объѐму V, ограниченному поверхностью A, в интеграл, взятый по этой поверхности, будем иметь:

AV

Сучѐтом (10.15) соотношение (10.14) примет вид:

Интеграл, взятый по произвольному объѐму, может быть равен нулю только в случае равенства нулю подынтегральной функции:

Полученное выражение (10.17) и есть основное дифференциальное уравнение переноса субстанции – массы или энергии, как будет показано далее. В случае изотропных сплошных сред с его помощью можно получать поля температур или концентраций в однофазной среде. Искомой величиной является плотность потока субстанции , которая определяет удельный поток массы или энергии.

5

Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена

(Уравнение Фурье-Кирхгофа)

Дифференциальное уравнение конвективного теплообмена является частным случаем уравнения переноса энергии в форме теплоты в однофазной сплошной изотропной среде. При этом теплоѐмкость сP, теплопроводность T и плотность среды считаются постоянными; отсутствует также перенос энергии в форме теплового излучения и объѐмное источники (стоки) теплоты.

Как было отмечено выше, потенциалом переноса теплоты является энтальпия единицы объѐма среды (ур. 10.4):

6

Дивергенцию от T v , как произведения векторной и скалярной величины, можно

представить в виде:

Полученное выражение (10.25) называется дифференциальным уравнением конвективного теплообмена или уравнением Фурье-Кирхгофа. Оно является частным случаем дифференциального баланса энергии в форме теплоты в движущейся среде, где имеет место перенос энергии теплопроводностью.

Полная форма уравнения конвективного теплообмена в скалярном виде будет:

Левая часть этого соотношения представляет собой субстанциональную

Уравнение (10.27) описывает нестационарное температурное поле в неподвижной среде, может применяться также для твѐрдых тел и называется уравнением

нестационарной теплопроводности.

Уравнение для установившегося процесса в неподвижной среде или в твердом теле имеет вид:

Отметим, что согласно уравнению (10.27), локальное изменение температуры T

t

пропорционально коэффициенту температуропроводности a, который, таким образом,

характеризует теплоинерционные свойства среды. При прочих равных условиях быстрее нагреется или охладится то тело, которое имеет бόльший коэффициент температуропроводности.

7

Граничное условие

Уравнения Фурье-Кирхгофа на практике используется совместно с граничным условием, т.е. условием на границе среды у неподвижной твердой стенки. Вблизи твердой стенки теплота передается только теплопроводностью внутри пограничного слоя.

Следовательно, по закону Фурье:

В тоже время, количество теплоты, передаваемой из ядра потока к твердой стенке,

можно выразить законом Ньютона (уравнение теплоотдачи):

Это и будет граничным условием, дополняющим уравнение Фурье-Кирхгофа.

Элементы теории подобия в теплообмене

Рассмотрим гидродинамически одномерный поток жидкости. Запишем уравнение Фурье-Кирхгофа:

подобия.

Для этого зададим константы подобия, выражающие отношения величин,

входящих в уравнение Фурье-Кирхгофа: al , at , aT, aa , av .

Умножим каждый из элементов дифференциального уравнения (10.32) на

соответствующую константу подобия, причем последняя как постоянная величина,

выносится за знак дифференциала.

Для сохранения тождественности полученного и исходного уравнений необходимо

выполнение следующего условия:

8