Материал: Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. методические указания и задания по математике. Дементьева А.М., Акчурина Л.В

Примеры решения задач из типового расчета

Пример 1.

Используя формулы Крамера решить систему уравнений

Решение. Главный определитель данной системы , поэтому, система имеет единственное решение, определить которое возможно после вычисления вспомогательных определителей , и :

= , = , = .

По формулам Крамера: , , .

Задача 2. Даны три точки А(4;2), В(-1;-3), С(6;1). См. задания задачи 2.

Решение.

а) Векторы , имеют координаты , и их длины , .

б) Косинус угла между векторами , определяется формулой:

.

в) Проекция вектора на : .

г) Изобразим на плоскости векторы , , , .

Рис. 18

Задача 3. Даны три точки А(4;2), В(-1;-3), С(6;1). См. задания задачи 3.

Решение.

1. Д ля определения уравнений сторон АВ, АС воспользуемся формулой , тогда уравнение стороны АВ: , т.е. , а уравнение стороны АС: , т.е. . Угловые коэффициенты прямых и , тогда угол между ними определяется из формулы . Т.к. из чертежа видно, что угол при вершине А тупой, то .

2. Д

   Рис.19

   ля определения высоты АН, заметим, что она перпендикулярна стороне ВС, тогда . Определим уравнение стороны ВС: , поэтому . Уравнение высоты, проходящей через точку А, можно определить, воспользовавшись уравнением , в которое подставим координаты точки А и угловой коэффициент. Итак, уравнение высоты АН имеет вид . Для определения длины высоты приведем уравнение ВС к общему виду и воспользуемся формулой , тогда .

3. Заметим, что точка М есть середина ВС, поэтому , . Соответственно, уравнение медианы АM имеет вид , т.е. .

4. Площадь треугольника . Длина высоты определена в пункте 2. Определим длину стороны ВС по формуле . Итак, .

5. Центр описанной окружности, находится в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон (задание для самостоятельной работы).

6. Искомая прямая l проходит через точку А(4;2) параллельно ВС, поэтому . Воспользуемся уравнением : , получим уравнение прямой l: .

Задача 4. Пирамида ABCD задана вершинами А(1;2;-3), В(2;-4;1), С(-3;-5;-1), D(-2;0;5). См. задания задачи 4.

Решение. 1) Воспользуемся уравнением плоскости и составим уравнение грани , . Раскрыв определитель, получаем общее уравнение плоскости, содержащей точки , и : , нормальный вектор которой .

Аналогично получено уравнение грани с нормальным вектором .

Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами и плоскостям, т.е. .

2. Воспользуемся уравнениями прямой и составим уравнения прямой : , направляющий вектор которой . Аналогично получен вектор .

Угол между прямыми , равен углу между векторами и :

, т.е. .

3) Угол между плоскостью АВС с нормальным вектором и прямой с направляющим вектором определяется формулой

,

значит .

4) Длина высоты пирамиды, опущенной из точки D(-2;0;5) равна расстоянию от точки D до плоскости ABC ( ) и определяется формулой .

5) Площадь грани равна площади треугольника с заданными вершинами и вычисляется по формуле , где , . Заметим, что: , где

, тогда .

Итак, (кв.ед.).

6) объем пирамиды вычисляется по формуле , где площадь основания пирамиды , высота пирамиды найдена в п. 4.

Таким образом, (куб.ед.).

Задача 5. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую в системе координат xOy.

Решение. Выделим в левой части уравнения кривой полные квадраты по каждой из переменной:

Т

Рис.20

Задача 6. Определить типы поверхностей по их уравнениям и изобразить поверхности схематически в системе координат Oxyz: a) , б) .