Решение.

a) Запишем уравнение в виде: , разделив обе его части на (-36). Сравнивая это уравнение с каноническими уравнениями второго порядка, видим, что это уравнение конуса, ось которого – Ox (рис.21).

б) Заданное уравнение не содержит переменной y, поэтому оно задает цилиндр в направлении оси Oy, направляющей линией которого является парабола – это параболический цилиндр (см. рис.22).

Рис. 21 Рис. 22

Пример 7. Найти производную функции .

Решение. Функция является произведением функций, одна из которых сложная:

Пример 8. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Областью определения данной функции, которая является многочленом, будет вся числовая ось .

2. Найдем точки пересечения графика с осями координат:

с осью Oy (при x=0): ;

с осью Ox (при y =0): и .

3. Функция не является периодической, см. п.2.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т к.

, т.е. и .

3. Найдем точки возможного экстремума функции, определив при каких x обращается в ноль или не определена первая производная функции:

, тогда при и при .

4. Найдем точки возможного перегиба функции, определив при каких x обращается в ноль или не определена вторая производная функции:

, тогда при .

5. Составим таблицу, в которую будут включены все критические точки: , , . Далее будут проверены достаточные условия существования перегиба и экстремума в данных точках.

Д ля построения графика:

• укажем в системе координат все точки определенные в п. 2 и в п. 5.;

• н

  Рис.23

  а каждом из промежутков , , и построим график функции, руководствуясь таблицей и точками графика , , , .

Пример 9. Составим уравнение касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Решение. Значение функции в точке с абсциссой равно , а значение производной в той же точке равно .

Поэтому уравнения касательной и уравнение нормали имеют, соответственно, вид (касательная) и (нормаль).

Библиографический список

1. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики / И.П. Натансон.– СПб; М.; Краснодар: Лань, 2009. – 736 с.

2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, Ч. 1. – М.: Оникс, 2009. – 386 с.

3. Щипачев В.С. Высшая математика: Учеб. пособие:/В.С. Щипачев – М.: Высшая школа, 2003 г. – 479 с.

4. Привалов И.И. Аналитическая геометрия / И.И. Привалов.– М.: Наука, 1966. – 272 с.

5. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Ч.2. / Н.С. Пискунов. – М.: Интеграл-Пресс, 2009. – 544 с.

6. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры /Д.В. Беклемишев. – М.: Физматлит, 2008. – 307 с.

Оглавление

Аналитическая геометрия.

Дифференциальное исчисление

Методические указания и задания по математике

для студентов архитектурного факультета

Составители: Александра Марковна Дементьева

Людмила Васильевна Акчурина

Наталия Александровна Сапожкова

Подписано в печать 14.01. 2015.Формат 60/84 1/16 Уч.-изд.л.3,6 Усл.-печ. л. 3,5

Бумага писчая. Тираж 200 экз. Заказ №

Отпечатано: отдел оперативной полиграфии издательства учебной литературы

и учебно-методических пособий Воронежского ГАСУ

394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84

29