Материал: Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. методические указания и задания по математике. Дементьева А.М., Акчурина Л.В

Свойства скалярного произведения векторов:

1. Коммутативность: ;

2. Ассоциативность: ;

3. Скалярный квадрат векторов: ;

4. Если , то ;

5. Дистрибутивность: .

Из указанных свойств вытекают следствия:

• координатная форма вычисления скалярного произведения векторов ;

• проекция вектора на направление вектора равна ;

• угол между двумя векторами и определяется по формуле

.

Прямая на плоскости

Составить уравнение прямой на плоскости возможно:

• если известны две точки и , лежащие на прямой :

;

• если известна точка , лежащая на прямой, и прямая параллельна вектору : ( - направляющий вектор прямой);

• если известна точка , лежащая на прямой, и прямая перпендикулярна нормальному вектору : или (общее уравнение прямой);

• если известен угловой коэффициент прямой , где – угол образуемый прямой с осью Ox: (уравнение прямой с угловым коэффициентом).

Угол между прямыми ( ) и ( ) определяется формулой , где плюс соответствует острому углу, а минус тупому. Отсюда: – условие параллельности прямых ( ); условие перпендикулярности прямых при имеет вид .

Расстояние от точки до прямой , заданной уравнением , определяется по формуле .

Кривые второго порядка

Кривыми второго порядка являются окружность, эллипс, гипербола, парабола, общее уравнение которых имеет вид

.

Э ллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек и (называемых фокусами), есть величина постоянная: .

К

Рис.2. Эллипс

аноническое уравнение эллипса имеет вид (см. рис. 2), где - полуоси эллипса, зная которые можно определить координаты фокусов и , где . Если , то получается уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом .

Г ипербола – это множество точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек и (называемых фокусами), есть величина постоянная: .

К

Рис.3. Гипербола

аноническое уравнение такой гиперболы имеет вид (см. рис. 3), где - действительная и мнимая полуоси кривой, зная которые можно определить координаты фокусов , где . Уравнение определяет гиперболу, у которой - действительная и мнимая полуоси, а фокусы находятся в точках .

Прямые называются асимптотами гиперболы, к ним приближаются ветви гиперболы при . Указанные асимптоты проходят по диагоналям прямоугольника (см. рис. 3).

П арабола – это множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки (фокуса) и от прямой (директрисы): , расстояние от фокуса до директрисы равно .

Е

Рис.4. Парабола

сли фокус расположить на положительной полуоси Ox, то каноническое уравнение параболы имеет вид (см. рис. 4), где - параметр параболы, зная который можно определить коорди-наты фокуса и уравнение директрисы .

Е

Рис.5. Парабола

сли фокус расположить на положительной полуоси Oy, то каноническое уравнение параболы имеет вид (см. рис. 5). Тогда координаты фокуса и уравнение директрисы .

Аналитическая геометрия в пространстве

Составить уравнение плоскости возможно:

• если известны три точки , и , которые принадлежат плоскости, но не лежат на одной прямой:

;

• если известен нормальный вектор плоскости и координаты точки , принадлежащей плоскости: .

Раскрыв скобки в последнем уравнении, получим общее уравнение плоскости: .

Составить уравнения прямой возможно:

• если известны две точки и , принадлежащие прямой: ;

• если известны направляющий вектор прямой и координаты точки , принадлежащей прямой: .

Угол между плоскостями и

равен углу между их векторами нормали , : .