Материал: Аналоговая и цифровая электроника. Учебное пособие. 2000

сять зависят от двух переменных.

Наиболее важными логическими операциями двух переменных являются:

∙логическое умножение. Эту операцию в математике называют конъюнкцией, а в схемотехнике – операцией "И". Обозначаются значком “&” или “Λ”. (рис.110)

∙логическое сложение. Операция носит название дизъюнкция, а в схемотех- нике – операция "ИЛИ".

Рис.111. Таблица истинности элемента(а), условное обозначение элемента "ИЛИ"(б), схе- ма реализации(в).

Количество входных сигналов, поступающих на элемент может быть лю- бым. На рис.111(в) изображена схема реализации операции "ИЛИ" на диодах. В математических выражениях операция обозначается знаками "V" или "+".

∙ равнозначность (операция сравнения)(рис.112а).

Рис.112.Условное обозначение и таблица истинности элемента "равнозначность"(а) и "нерав- нозначность"(б)

∙ неравнозначность (рис.112б).

96

- операция Шеффера или операция "И-НЕ"

а)

Рис.113.Условное обозначение(а), таблица истинности(б) и схемная реализация элемен- та "И-НЕ"(в).

- операция Пирса или операция "ИЛИ-НЕ"

Рис.114. Условное обозначение(а), таблица истинности(б) и схемная реализация элемента

"ИЛИ-НЕ"(в).

Способы записи функций алгебры логики. Рассмотрим некоторое логиче- ское устройство, на вход которого присутствует некоторый П – разрядный двоичный код xn-1…x1x0, а входе соответственно П2 – разрядный двоичный код

Zm-1 …Z1Z0 (рис.115).

Зависимость выходной величины от входных, связанная с помощью опе-

гическими. Для описания ФАЛ могут быть использованы следующие способы:

97

-словесное описание;

-описание в виде таблиц истинности;

-описание в виде алгебраических выражений;

-описание в виде последовательности десятичных чисел.

Словесное описание ФАЛ может звучать так: "Логическая функция трех пере- менных равна единице, если все три входные переменные равны “единицам”. Данный вид описания наиболее часто применяется для первоначального описа- ния поведения логического устройства.

Описание в виде таблицы истинности представляет собой таблицу, которая

содержит все возможные комбинации входных переменных и соответствующие им значения функций. Таблица содержит 2n строк и n + m столбцов. Например, таблица 5.

Таблица 5.

При описании ФАЛ с помощью алгебраических выражений возможны две фор-

мы ее записи:

1. Дизъюнктивная нормальная форма(ДНФ), которая представляет собой логи-

ческую сумму элементарных логических произведений, в каждое из которых входят входные переменные или их инверсии один раз. ДНФ может быть полу- чена из таблицы истинности. Для этого для значений функции Y =1 записыва- ются элементарные логические произведения. Для таблицы 5 имеем:

Y(X2,X1,X0) = X2X1X0 + X2X1X0+X2 X1X0 + X2X1X0

2. Конъюнктивная нормальная форма(КНФ), которая представляет собой логи-

ческое произведение элементарных логических сумм, в каждую из которых входит входные переменные или их инверсии только один раз. КНФ может быть получена из таблицы истинности. Для этого для значений функции Y=0 записываются элементарные логические суммы входных величин. Для таблицы 5 записываем:

Y(X2,X1,X0) = (X2 + X1 + X0) × (X2 + X1 + X0) + (X2 + X1 + X0) + (X2 + X1 + X

Описание ФАЛ в виде последовательности десятичных чисел можно по- лучить из алгебраических выражений ДНФ и КНФ. Например для нашего слу-

чая: Y(X2,X1,X0)=Σ(2,3,5,7); Y(X2,X1,X0)=Π(0,1,4,6)

Основные теоремы и аксиомы алгебры логики и минимизация ФАЛ. Од- ним из важнейших положений алгебры логики является принцип двойственно-

98

сти. Он заключается в том, что операции логического сложения можно заме- нить операциями логического умножения и наоборот.

Если X1 × X0 = Y , то X1 + X0 = Y ; если X1 + X0 = Y , то X1 × X0 = Y

свою очередь все логические функции могут быть записаны в ДНФ и КНФ. Следовательно, любую логическую функцию можно представить с по- мощью трех элементарных функций: инверсии, дизъюнкции и конъюнкции.

Рис.116. Реализация операций И(а), ИЛИ(б), НЕ(в) на базе элементов 2ИЛИ-

Функционально полной системой логических элементов называется совокуп-

ность логических элементов, позволяющая реализовать все 16 логических опе- раций. К таким функционально полным системам относятся системы: И, ИЛИ, НЕ; И, НЕ; ИЛИ, НЕ; И-НЕ. В качестве примера рассмотрим выполнение опе- раций И, ИЛИ, НЕ на элементах ИЛИ-НЕ.

Теоремы булевой алгебры отражают связи, существующие между опера- циями, выполняемыми над логическими переменными.

Любую логическую схему можно описать и представить в совершенной дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной форме. Однако полученная

99

таким образом схема не является оптимальной с точки зрения ее практической реализации. Поэтому исходные ФАЛ обычно минимизируют. Целью миними- зации является уменьшение стоимости ее технической реализации. Критерий минимизации неоднозначен. Наиболее просто задача минимизации решается с использованием карт Вейча. Данный метод минимизации базируется на таб- личном методе представления ФАЛ при числе переменных меньше пяти.

Карта Вейча – это прямоугольная таблица, число клеток в которой равно 2n и в каждой клетке имеется набор всех входных переменных и их инверсий. На рис.117 приведены карты Вейча для двух, трех и четырех перемен- ных.Алгоритм минимизации ФАЛ сводится к следующему:

1) исходные данные записываются в виде таблицы истинности;