Материал: Баранник Лекции по курсу Теория переноса нейтронов 2012
и некоторое количество топлива, достаточное для компенсации отравления, шлакования, температурного и мощностного эффектов реактивности.
Учитывая все это, а также из экономической целесообразности конструктор ЯР должен при выбранных им материалах и топливе, их свойствах создать некоторый критический объем активной зоны ЯР или для больших промышленных ЯР АЭС – несколько критических объемов в пределах одной активной зоны ЯР. Таким образом, конструктор ЯР обеспечивает соответствие материальных (материалы, топливо и их свойства) параметров ЯР его геометрическим критическим параметрам, создавая ЯР, в котором потенциально возможна управляемая самоподдерживающаяся ЦР деления.
Как найти указанные критические геометрические параметры ЯР?
Наименьшей площадью поверхности и наименьшей утечкой нейтронов при равных объемах фигур характеризуется сфера. С учетом выражения (6.37) для геометрического параметра ЯР объем голого сферического ЯР (без отражателя)
|
4 |
πR3 = |
4 |
|
π |
3 |
|
||
Vсф = |
π |
|
=V0 , |
(6.38) |
|||||
3 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
Bг |
|
|
||||
критический размер |
|
R = 3,14В3 . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
(6.38/) |
||||
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
С учетом выражения (6.25) для геометрического параметра ЯР
объем голого ЯР в форме параллелепипеда |
|
||||
V |
= с3 = |
3 3π3 |
, |
(6.39) |
|
В3 |
|||||
пар |
|
|
|
||
|
|
г |
|
|
|
критический размер |
с = 5,434В . |
|
|
||
|
|
(6.39/) |
|||
|
|
г |
|
|
|
С учетом выражения (6.33) для геометрического параметра ЯР
объем цилиндрического голого ЯР |
|
|
|
|
|
Vцил = πR2 H = π |
π |
|
2,405 |
2 |
|
|
. |
||||
|
Bгr |
||||
|
Bгz |
|
|||
151
Через полный геометрический параметр (6.33)
|
R |
2 |
= |
|
2,4052 H |
2 |
|
, |
|
|
|
|
(6.40) |
||||
|
|
|
B2 H |
2 −π2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2,4052 H 2 |
|
|
2,4052 H 3 |
||||||||||
Vцил = πR |
H = π |
2 |
H |
2 |
−π |
2 |
H = |
2 |
H |
2 |
−π |
2 . |
|||||
|
|
|
|
Bг |
|
|
|
|
Bг |
|
|
||||||
Дифференцируя это выражение по Н и приравнивая к нулю, имеем Bг2 H 2 = 3π2 , откуда критический размер
H = |
3π |
≈ |
5,441 |
. |
(6.41) |
B |
|
||||
|
|
B |
|
||
|
г |
|
г |
|
|
Подставив в (6.40), получим критический размер
= 2,945
R (6.42)
Bг
и оптимальное соотношение между высотой и радиусом цилиндрической активной зоны
2R |
=1,083 |
или |
H |
= 0,923 . |
|
H |
2R |
||||
|
|
|
Vцил = Bπ
г
Vцил min
3 |
R |
R2 |
|
3/2 |
||||
|
π |
|
|
|
|
+0,59 |
|
, |
|
H |
2 |
||||||
|
|
H |
|
|
|
|
||
= πR2 H = 148,2 .
Вг3
(6.43)
(6.44)
(6.45)
Большинство промышленных ЯР – цилиндрические, набранные из обечаек, так как технологически проще изготавливать несферический ЯР.
При этом необходимо минимизировать площадь поверхности и, соответственно, утечку нейтронов. При равных геометрических параметрах Вг2 сферического и цилиндрического ЯР из формулы (6.45) с учетом (6.38) следует, что цилиндрический ЯР имеет минимальный объем (с минимальной площадью поверхности)
Vцил min = 1,145V0 при условии (6.43) 2R/H = 1,083.
Зависимость соотношения цилиндрического и сферического объемов V/V0 (2R/H) приведена на рис. 33.
152
Рис. 33. Зависимость соотношения цилиндрического и сферического объемов активной зоны реактора
6.3.Решение уравнения Ферми. Условия критичности
Впредыдущих лекциях рассматривалось уравнение возраста нейтронов для поглощающей среды (5.29)
j |
(rG,τ) − |
1 |
j |
(rG,τ) − |
∂jпогл(r ,τ) |
= 0 |
(6.46) |
|
L2 |
||||||||
погл |
|
погл |
|
∂τ |
|
|
||
|
|
τ |
|
|
|
|
|
и непоглощающей среды (элементарное уравнение возраста или |
||||
уравнение возраста Ферми) (5.29/): |
G |
|
|
|
j |
(rG,τ) − ∂jнепогл(r ,τ) |
= 0 . |
(6.47) |
|
непогл |
|
∂τ |
|
|
|
|
|
|
|
Связь (5.31) между плотностями замедления в поглощающей и непоглощающей средах записывалась через вероятность избежать
поглощения нейтрона в процессе замедления в среде ϕ(τ) : |
|
||
j |
(r,0) = j |
(rG,0)ϕ(τ) , |
(6.48) |
погл |
непогл |
|
|
где ϕ(τ) – вероятность избежать радиационного захвата в уране-
238, для рождающихся БН при рождении до начала замедления
φ(0) = 1.
Пусть в непоглощающей нейтроны среде в уравнении возраста Ферми (6.47)
153
j* = j |
|
|
(rG,τ) =T (τ)R(rG) |
|
(6.49) |
||||||
|
|
непогл |
|
|
|
|
|
|
|
||
– произведение функций энергии и координат, тогда |
|||||||||||
|
|
∂j* (rG,τ) |
= R dT |
, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
∂τ |
dτ |
|
|
|
|
|
|
j* (rG,τ) = 2 j* (rG,τ) =T 2 R R dT |
=T 2 R |
||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
dτ |
|
|||
|
2 R |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 dT |
≡ |
= const = −χ |
2 |
, |
(6.50) |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
T dτ |
|
R |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решением уравнения (6.50) является функция |
|
|
|||||||||
|
|
T =T exp(−χ2τ |
) . |
|
|
|
|
||||
Тогда |
|
0 |
т |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
j* =TR = RT exp(−χ2τ |
) . |
|
|
(6.51) |
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
т |
|
|
|
|
В начальный момент времени сколько рождается, генерируется БН с энергией источника(ов) Е = Е0, столько их и начинает замедляться, т.е. возраст рождающихся БН τ(Е0) = 0, и плотность замедления равна плотности деления. Иначе, вспоминая определение плотности замедления, можно сказать, что сколько БН появляется в результате деления в 1 с в 1 см3, столько их и начинает замедляться
j* (rG,0) = j*f ,
т.е. j*f – скорость реакции генерации БН в некоторой области про-
странства. |
|
|
Из выражения (6.51) следует, что |
|
|
j* = RT . |
(6.52) |
|
f |
0 |
|
С другой стороны, в соответствии с формулой 4-х сомножителей (6.13) скорость генерации БН можно записать следующим образом:
j*f = ΣaФθηε = ΣaФk∞ / ϕ. |
(6.53) |
Действительно, произведение вероятности поглощения на плотность потока нейтронов ΣaФ есть число нейтронов, поглощаемых
в 1 см3 активной зоны в 1 с, т.е. скорость поглощения нейтронов. Из них в соответствии с формулой 4-х сомножителей (6.13) топливом поглощается ΣaФθ нейтронов в 1 с в 1 см3 активной зоны, а
154
после деления испускается ΣaΦθη быстрых нейтронов. В начальный момент времени идет деление урана-238 на БН и первоначальное число нейтронов растет в ε раз и становится равным ΣaΦθηε.
В соответствии с формулой 4-х сомножителей (6.13) число БН, генерируемых и начинающих сразу после рождения замедляться в 1 см3 активной зоны ЯР в 1 с, будет равно j*f = ΣaΦθηε = ΣaΦk∞ / ϕ .
Подставляя выражение (6.53) в формулу (6.52), имеем
|
R = ΣaΦk∞ / (T0ϕ) . |
|
|
(6.54) |
|
Подставляя выражение (6.54) в формулу (6.51), получим |
|
||||
j* = RT |
exp(−χ2τ |
) = ΣaΦk∞ exp(−χ2 |
τ |
) . |
(6.55) |
0 |
т |
ϕ |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость генерации БН будет с учетом вероятности избежать радиационный захват φ = 1 (φ = 1 только для рождающихся БН) определяться выражением
j* |
= Σ |
Φk |
∞ |
exp(−χ2τ |
) . |
(6.56) |
max |
a |
|
т |
|
|
Возможно получение зависимостей плотности потока и от различных параметров, таких, как четыре сомножителя формулы (6.13) и т.д. Для этого в уравнение баланса ТН
dn |
|
скорость |
|
скорость |
|
скорость |
= 0 , (6.57) |
|
dt |
= |
|
− |
|
− |
утечки |
|
|
|
генерации |
|
поглощения |
|
|
|
||
записанное для критического на заданном уровне мощности реактора (dn/dt = 0) подставляют выражения для скоростей генерации (6.56), поглощения (Ra = ΣaФ) и утечки ТН
P(x, y, z) = −DΔΦ(x, y, z) , |
|
= 2 = |
|
∂2 |
+ |
∂2 |
+ |
∂2 |
|||
|
|
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
с учетом D = λtr/3 = 1/(3Σtr): |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ΣaФk∞ exp(−χ2τт ) −ΣaФ− |
2Ф = 0 |
|
|
||||||||
3Σtr |
|
|
|||||||||
или с учётом L2 = (1/3ΣaΣtr) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2Ф+ k |
∞ |
exp(−χ2 |
τ |
) −1 / L 2 Φ = 0. |
|
|
|||||
|
|
т |
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
(6.58)
(6.59)
Подстановка выражения (6.54) для R в (6.50) и деление частей уравнения на не равный нулю множитель k∞Σа/ϕT0 также дает уравнение (6.59), называемое волновым уравнением критического
155