Материал: Числовые ряды (96

Решение. Имеем

an =

10 + (−1)n

; an+1 =

10 + (−1)n+1

.

Предел n

2n

n

2n+1

= n

n

=

lim

an+1

lim

10 + (−1)n+1

∙2n

2 2 (10 + ( 1) )

→∞ an

→∞

=

n→∞

не существует Признак Даламбера

«

не рабо

-

2

10 + (

1)n

1 lim

10 + (−1)n+1

∙

∙ .

−

тает».

−

Найдем

lim

n

lim

n

10 + (

1)n

1

< 1.

2n−

=

n→∞

√an = n→∞ r

2

Следовательно, ряд сходится по радикальному признаку Коши.

Если признак Даламбера дает в пределе q = 1, то и по радикаль-

ному признаку Коши получим q = 1.

Если по радикальному при-

знаку Коши получаем q = 1, то по признаку Даламбера также q = 1

или предел не существует. Таким образом, если при исследовании

сходимости ряда по одному из этих признаков получаем q = 1, то

второй применять не имеет смысла.

Теорема

6.

Интегральный признак Коши. Если существует

функция f (x),

положительная, непрерывная, монотонно убываю-

щая на промежутке [x0, +∞) и такая,

что f (n) = an,

∞

то ряд ∑ an

+∞

n=n0

и несобственный.

сходятся или расходятся од-

интеграл xR0

f (x)dx

новременно

Пример

20.

∞

1

∑

.

Исследовать на сходимость ряд n=2

n√

ln n

Решение. Функция f (x) =

1

положительная и убывает на

x√

ln x

промежутке

[2, +∞). Тогда

16

3.

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Числовой ряд, содержащий бесконечное число положительных

и бесконечное число отрицательных членов, называется

знакопере-

менным (например, если общий член ряда содержит множитель ви-

да cos n, sin

πn и т. п.). Знакопеременный ряд называется

знакочере-

дующимся,

если все четные члены имеют один знак, а нечетные —

2

противоположный. Например, если общий член ряда содержит мно-

житель (−1)n = cos πn. Ряд, содержащий конечное число положи-

тельных или отрицательных членов, исследуют на сходимость как

знакоположительный, так как отбрасывание конечного числа чле-

нов ряда и почленное умножение на

– 1 не влияет на сходимость.

Пример

Исследовать на сходимость ряд n=1

(10 + n2)√n

∞

2

21.

∑

10 −n

.

Решение. Первые три члена положительные, а остальные —

от-

рицательные. Отбрасываем первые три члена, остальные умножаем

на – 1.

Получаем

n2√n

√n

при

→

(10 + n2)√n

n2 −10

n2

=

1

n

∞.

Ряд n=4

Исходный

√n расходится как ряд Дирихле с

2

∞

1

1

∑

p =

< 1.

ряд расходится по предельному признаку сравнения.

Абсолютная и условная сходимости

Сходимость знакопеременного ряда может быть или абсолют-

ной или условной.

∞

Определение. Ряд

∑ an называется абсолютно сходящимся,

если ряд из его модулей n=1

|

| сходится Знакопеременный ряд на

n=1

∞

∑

an

.

-

зывается условно сходящимся, если он сходится, а ряд из модулей

расходится.

Если ряд аб-

Теорема 7. Теорема об абсолютной сходимости.

солютно сходится, то он сходится и в обычном смысле.

19

Пример

Исследовать на сходимость ряд

n=1

3n

∞

n

n

22.

∑

(−1)

2

=

−

3

n=1

∞

2

n

= ∑

.

Решение. Ряд знакочередующийся. Ряд из модулей сходится как

геометрическая прогрессия со знаменателем

q =

3

< 1.

Поэтому

исходный ряд сходится абсолютно.

2

2

−

2

+

Пример

23.

Исследовать на сходимость ряд 1 − 1 +

1

1

1

1

1

1

+

−

+

−

+ ...

3

3

4

4

Решение. Ряд знакочередующийся и сходится, так как четная ча-

стичная сумма S2n = 0, а общий член ряда an → 0 при n → ∞. Поэто-

му Sn

→ 0

и сумма ряда S = 0.

Ряд из модулей представляет собой

удвоенный гармонический ряд и поэтому расходится. Окончатель-

но исходный ряд сходится условно.

Разделение сходимости на абсолютную и условную оправдано

свойствами этих рядов.

Свойства знакопеременных рядов

1. При перестановке членов абсолютно сходящегося ряда его

сумма не меняется.

2.

С помощью перестановки членов условно сходящегося ряда

его сумму можно сделать равной любому числу или бесконечности

(имеются в виду бесконечные перестановки).

который сходился к

Пример

24.

Возьмем ряд из примера 23,

нулевой сумме,

и представим его члены так,

чтобы после одного

положительного члена следовало два отрицательных:

8 + ...

1 −1 − 2 + 2 −

3 −

4 + 3 −

5 −

6 + 4

− 7 −

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1