Материал: Демирчян, Нейман, Коровкин, Чечурин. Теоретические основы электротехники.т.2.2003
âûðàæåíèå ïðè ðàñ÷åòå:
à
) òîêà
i
k
(
t
) â
k
-é âåòâè, íå ÿâëÿþùåéñÿ âõîäíîé;
á
) íà-
ïðÿæåíèÿ
u
k
(
t
) íà
k
-é âåòâè?
2.
(Î) Öåïü ïîäêëþ÷àþò ïîä äåéñòâèå íàïðÿæåíèÿ ïðîèçâîëüíîé ôîðìû. Ìîæ-
íî ëè ðàññ÷èòàòü ïåðåõîäíûé ïðîöåññ â öåïè ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Äþàìåëÿ,
åñëè:
à
) â íåé çàäàíû íåíóëåâûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ;
á
) îíà ÿâëÿåòñÿ àêòèâíûì
äâóõïîëþñíèêîì?
3.
(Ð) Íà âõîäå öåïè äåéñòâóåò íàïðÿæåíèå
u t
u t
t t
u t
t
t
( )
( )
,
( )
,
=
£ £
< < ¥
ì
í
î
1
1
2
1
0
ïðè
ïðè
ïðè÷åì:
à
)
u
1
(
t
1
)
=
u
2
(
t
1
) è
á
)
u
1
(
t
1
)
¹
u
2
(
t
1
). Èñïîëüçóÿ ìåòîä íàëîæåíèÿ, ïîëó÷è-
òå íà îñíîâå èíòåãðàëà Äþàìåëÿ âûðàæåíèå äëÿ âõîäíîãî òîêà
i
(
t
) öåïè.
4.
(Ð) Íà âõîäå öåïåé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. B12.1, äåéñòâóåò íàïðÿæåíèå óêà-
çàííîãî íà ðèñ. B12.4 âèäà. Çàïèøèòå âûðàæåíèå äëÿ òîêà
i
1
(
t
).
5.
(Ð) Íàïðÿæåíèå íà âõîäå ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. B12.1 öåïåé èçìåíÿåòñÿ ïî çà-
êîíó
u
(
t
)
=
U
m
sin
w
t
ïðè 0
£
t
£
T
/4;
u
(
t
)
=
1
2
U
m
sin
w
t
ïðè
T
/4
£
t
£
T
/2;
u
(
t
)
=
0 ïðè
t
>
T
/2, ãäå
w = 2p/
T
. Íàéäèòå çàâèñèìîñòü
i
1
(
t
).
6.
(Ð) Â § 12.3 ïðè âûâîäå èíòåãðàëà Äþàìåëÿ íàïðÿæåíèå
u
(
t
) çàìåíÿþò ñóì-
ìîé ñòóïåí÷àòûõ íàïðÿæåíèé. Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå èíòåãðàëà â èíîé ôîðìå,
çàìåíÿÿ íàïðÿæåíèå
u
(
t
) ñóììîé èìïóëüñíûõ íàïðÿæåíèé ïðÿìîóãîëüíîé
ôîðìû.
12.3. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ
ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èìïóëüñîâ
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß
1.
(Ð) Íà âõîäå öåïè (ðèñ. Â12.5) äåéñòâóþò èìïóëüñû íàïðÿæåíèÿ ïðÿìîóãîëü-
íîé ôîðìû àìïëèòóäîé
U
0
= 100 Â ñ ïåðèîäîì ñëåäîâàíèÿ
T
=
2·10
–4
c è äëè-
òåëüíîñòüþ
Ò
è
=
10
–4
ñ. Ðàññ÷èòàéòå íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå
u
C
[
n
] ïðè
168
Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12
Ðèñ. B12.4
íà÷àëüíîì óñëîâèè
u
C
(0)
=
0, ñîñòàâëÿÿ è ðåøàÿ ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå. Çàïèøè-
òå ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ïðè
Ò
è
®
0,
U
0
® ¥
è ñîõðàíåíèè çíà÷åíèÿ
K
=
U
0
Ò
è
=
=
10
–2
·ñ, ò. å. ïðè äåéñòâèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìãíî-
âåííûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ èíòåíñèâíîñòüþ
Ê
.
2.
(Ð) Íà âõîäå öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè
ó÷àñòêàìè
r
,
L
äåéñòâóþò ìãíîâåííûå èìïóëüñû íàïðÿ-
æåíèÿ ñ ïåðèîäîì
Ò
=
2·10
–4
c è èíòåíñèâíîñòüþ
Ê
=
10
–4
·ñ. Ðàññ÷èòàéòå òîê
i
(
t
) â öåïè ïðè
i
(0)
=
0,
r
=
10 Îì,
L
=
0,02 Ãí.
3.
(Ð) Íàéäèòå
z
-èçîáðàæåíèÿ ìãíîâåííûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ åäèíè÷íîé
èíòåíñèâíîñòüþ, îáðàçóþùèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü:
à
) (1, 0, 0, …);
á
) (1, 1, 0, 0, …);
â
) (1, 1, 1, 0, 0, 0, …);
ã
) (1, –1, 1, –1, …);
ä
) (1, 1, –1, –1, …).
4.
(Ð) Íàéäèòå
z
-èçîáðàæåíèÿ ðåøåò÷àòûõ ôóíêöèé
f
(
nT
)
=
f
[
n
], ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ ôóíêöèÿì:
à
)
u t
U
e
t
( )
(
)
=
-
0
1
a
;
á
)
u t
U
t
m
( )
sin
=
w
;
â
)
u t
at
( )
=
2
.
5.
(Ð) Íà âõîäå öåïè äåéñòâóåò ïåðèîäè÷åñêîå (ñ ïåðèîäîì
Ò
=
3·10
–4
ñ) íà-
ïðÿæåíèå àìïëèòóäîé
U
0
=
100  (ðèñ. Â12.6). Ðàññ÷èòàéòå òîê
i
L
[
n
] êàòóøêè
ïðè
i
L
(0)
=
0 ìåòîäîì
z
-ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Âîïðîñû è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 9, 10, 11 è 12
169
Ðèñ. Â12.5
Ðèñ.Â12.6
Ãëàâà òðèíàäöàòàÿ
Àíàëèç îáùèõ ñâîéñòâ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ
13.1. Ðàçëè÷íûå âèäû óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà
Ëþáîé ñëîæíîé öåïè, èìåþùåé äâà âõîäíûõ çàæèìà, ðàíåå áûëî äàíî îáùåå íà-
èìåíîâàíèå äâóõïîëþñíèêà. Äâóõïîëþñíèê áûë íàçâàí ïàññèâíûì, åñëè âíóòðè
íåò èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè, è àêòèâíûì, åñëè â íåì ñîäåðæàòñÿ èñòî÷íèêè ýíåðãèè.
Äâóõïîëþñíèê îáîáùåííî õàðàêòåðèçîâàëñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì — âõîäíûì ñî-
ïðîòèâëåíèåì èëè, ñîîòâåòñòâåííî, âõîäíîé ïðîâîäèìîñòüþ.
Ìíîãèå ýëåêòðîòåõíè÷åñêèå óñòðîéñòâà, ñëóæàùèå äëÿ ïåðåäà÷è ýíåðãèè èëè
ñèãíàëîâ, èìåþò äâà âõîäíûõ è äâà âûõîäíûõ çàæèìà, ïðè÷åì èõ âíóòðåííÿÿ
ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ìîæåò áûòü âåñüìà ñëîæíîé. Òàêèå óñòðîéñòâà íîñÿò íàçâàíèå
÷ å ò û ð å õ ï î ë þ ñ í è ê î â — ï à ñ ñ è â í û õ, åñëè âíóòðè íèõ îòñóòñòâóþò èñ-
òî÷íèêè ýíåðãèè, è à ê ò è â í û õ, åñëè âíóòðè íèõ ñîäåðæàòñÿ èñòî÷íèêè ýíåðãèè.
 íàñòîÿùåé ãëàâå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïàññèâíûå ÷åòûðåõïîëþñíèêè, òàê
êàê àêòèâíûé ÷åòûðåõïîëþñíèê ìîæåò áûòü çàìåíåí ýêâèâàëåíòíûì åìó ïàñ-
ñèâíûì è âûíåñåííûìè çà çàæèìû ïîñëåäíåãî ýêâèâàëåíòíûìè ÝÄÑ, ÷òî áóäåò
ïîêàçàíî â § 13.8. Ïàðàìåòðû âñåõ ýëåìåíòîâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà áóäåì ïîëàãàòü
ïîñòîÿííûìè.
Îòìåòèì, ÷òî ëèíåéíûé ïàññèâíûé äâóõïîëþñíèê, à òàêæå ëèíåéíûé ïàñ-
ñèâíûé ÷åòûðåõïîëþñíèê â îáùåì ñëó÷àå ìîãóò ñîäåðæàòü âíóòðè ñåáÿ èñòî÷-
íèêè ýíåðãèè, íî ñ îáÿçàòåëüíûì óñëîâèåì, ÷òî äåéñò-
âèå èõ âçàèìíî êîìïåíñèðóåòñÿ âíóòðè äâóõïîëþñíèêà
èëè, ñîîòâåòñòâåííî, âíóòðè ÷åòûðåõïîëþñíèêà òàêèì
îáðàçîì, ÷òî íàïðÿæåíèÿ íà âõîäíûõ, à äëÿ ÷åòûðåõïî-
ëþñíèêà — òàêæå è íà âûõîäíûõ ðàçîìêíóòûõ çàæèìàõ
ðàâíû íóëþ.
Êàê ñåé÷àñ áóäåò ïîêàçàíî, ïàññèâíûé ÷åòûðåõïî-
ëþñíèê ìîæåò áûòü îáîáùåííî îõàðàêòåðèçîâàí òðåìÿ
íåçàâèñèìûìè ïàðàìåòðàìè, êîòîðûå ìîãóò áûòü îïðå-
äåëåíû ðàñ÷åòîì, åñëè èçâåñòíî âíóòðåííåå ñòðîåíèå
÷åòûðåõïîëþñíèêà, à òàêæå ýêñïåðèìåíòàëüíî. Ýêñïå-
ðèìåíòàëüíîå îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ÷åòûðåõïîëþñ-
íèêà èìååò îñîáî âàæíîå çíà÷åíèå, êîãäà âíóòðåííåå
ñòðîåíèå ÷åòûðåõïîëþñíèêà íåèçâåñòíî.
Ïðèìåðàìè ïàññèâíûõ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ÿâëÿþòñÿ òðàíñôîðìàòîð, ýëåê-
òðè÷åñêèé ôèëüòð, ìîñòîâàÿ öåïü, ñõåìû êîòîðûõ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 13.1. Îíè
èìåþò äâà âõîäíûõ (
1
,
1
¢
) è äâà âûõîäíûõ (
2
,
2
¢
) çàæèìà.
 äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñâîéñòâà ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ ïðè óñòà-
íîâèâøèõñÿ ñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññàõ.
Èññëåäîâàíèå ïåðèîäè÷åñêèõ íåñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññîâ â ÷åòûðåõïîëþñ-
íèêàõ ìîæåò áûòü ñâåäåíî ñ ïîìîùüþ ðàçëîæåíèÿ â äèñêðåòíûé ðÿä Ôóðüå
ê ðàññìîòðåíèþ ñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññîâ äëÿ îòäåëüíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ ñî-
ñòàâëÿþùèõ.
Ðèñ. 13.1
Èññëåäîâàíèå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ÷åòûðåõïîëþñíèêàõ ïðè íóëåâûõ íà-
÷àëüíûõ óñëîâèÿõ òàêæå ñâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà Ôóðüå ê ðàññìîòðåíèþ
ñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññîâ. Èññëåäîâàíèå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ ñ ïîìîùüþ
îïåðàòîðíîãî ìåòîäà ôîðìàëüíî àíàëîãè÷íî èññëåäîâàíèþ ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ
ïðîöåññàõ ñ çàìåíîé îïåðàòîðà
p
íà âåëè÷èíó
j
w
. Âñå ñêàçàííîå äàåò îñíîâàíèå
îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ñâîéñòâ ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñ ïîìîùüþ êîìïëåêñ-
íîãî ìåòîäà.
Óñòàíîâèì çàâèñèìîñòè, ñâÿçûâàþùèå ìåæäó ñîáîé âõîäíûå è âûõîäíûå íà-
ïðÿæåíèÿ è òîêè:
&
,
&
,
&
,
&
U U I I
1
2
1
2
(ðèñ. 13.2).
Ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ íàïðÿæåíèé è òî-
êîâ âûáåðåì, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 13.2. Ïðè ýòîì ïî-
ëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ïîòîêà ýíåðãèè íà âõîä-
íûõ çàæèìàõ
1
,
1
¢
áóäåò ê ÷åòûðåõïîëþñíèêó, à íà
âûõîäíûõ çàæèìàõ
2
,
2
¢
— îò ÷åòûðåõïîëþñíèêà,
÷òî ïîêàçàíî ñòðåëêàìè ñ õâîñòîâûì îïåðåíèåì. Òàêîé âûáîð ïîëîæèòåëüíûõ
íàïðàâëåíèé öåëåñîîáðàçåí, êîãäà ÷åòûðåõïîëþñíèê ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïåðå-
äàòî÷íîå óñòðîéñòâî.
Ïóñòü ðåàëüíàÿ ñõåìà ÷åòûðåõïîëþñíèêà ñîäåðæèò
n
íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ.
 êà÷åñòâå ïåðâîãî âûáåðåì êîíòóð, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ èñòî÷íèê ýíåðãèè íà
âõîäíûõ çàæèìàõ
1
,
1
¢
.
 êà÷åñòâå âòîðîãî âûáåðåì êîíòóð, âêëþ÷àþùèé â ñåáÿ
ïðèåìíèê, ïðèñîåäèíåííûé ê âûõîäíûì çàæèìàì
2
,
2
¢
.
Íå èíòåðåñóÿñü ïàäåíè-
åì íàïðÿæåíèÿ â èñòî÷íèêå ýíåðãèè, áóäåì ðàññìàòðèâàòü íàïðÿæåíèå
&
U
1
íà
âõîäíûõ çàæèìàõ ÷åòûðåõïîëþñíèêà êàê âûçûâàþùåå òîêè â öåïè.
Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ ïî ìåòîäó êîíòóðíûõ òîêîâ. Ïðè ýòîì âñå ñîáñòâåííûå è
îáùèå ñîïðîòèâëåíèÿ âíóòðè ÷åòûðåõïîëþñíèêà áóäåì îòìå÷àòü äîïîëíèòåëüíî
øòðèõîì (
¢
), òàê êàê äàëåå áóêâàìè
Z
11
,
Z
22
,
Z
12
è
Z
21
áåç øòðèõîâ áóäóò îáîçíà÷åíû
ïàðàìåòðû ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Çàìåòèì, êðîìå òîãî, ÷òî ñîáñòâåííîå ñîïðîòèâëå-
íèå âòîðîãî êîíòóðà ÿâëÿåòñÿ ñóììîé
Z
¢
22
+
Z
ïð
, ãäå
Z
¢
22
— ÷àñòü ýòîãî ñîïðîòèâëå-
íèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ âíóòðè ÷åòûðåõïîëþñíèêà, a
Z
ïð
— ñîïðîòèâëåíèå ïðèåìíèêà,
ðàñïîëîæåííîãî âíå ÷åòûðåõïîëþñíèêà. Èìååì óðàâíåíèÿ:
¢
+ ¢
+ ¢
+ + ¢
=
¢
+
¢
Z I
Z I
Z I
Z I
U
Z I
Z
n n
11 1
12 2
13 3
1
1
21 1
2
&
&
&
&
&
;
&
(
K
2
2
23 3
2
31 1
32 2
33
0
+
+ ¢
+ + ¢
=
¢
+ ¢
+ ¢
Z
I
Z I
Z I
Z I
Z I
Z
n n
ïð
)
&
&
&
;
&
&
K
&
&
;
. . . . . . . . . . . . .
I
Z I
n n
3
3
0
+ + ¢
=
K
Òàê êàê
Z I
U
ïð
&
&
2
2
=
, ãäå
&
U
2
—
íàïðÿæåíèå íà âûõîäíûõ çàæèìàõ ÷åòûðåõïî-
ëþñíèêà, òî, ïåðåíåñÿ âåëè÷èíó
&
U
2
â ïðàâóþ ÷àñòü âòîðîãî óðàâíåíèÿ, ïðèâåäåì
ñèñòåìó óðàâíåíèé ê âèäó
¢
+ ¢
+ ¢
+ + ¢
=
¢
+ ¢
Z I
Z I
Z I
Z I
U
Z I
Z
n n
11 1
12 2
13 3
1
1
21 1
22
&
&
&
&
&
;
&
K
&
&
&
&
;
&
&
&
I
Z I
Z I
U
Z I
Z I
Z I
n n
2
23 3
2
2
31 1
32 2
33 3
+ ¢
+ + ¢
= -
¢
+ ¢
+ ¢
K
+ + ¢
=
K
Z I
n n
3
0
&
;
. . . . . . . . . . . . .
Ãëàâà 13. Àíàëèç îáùèõ ñâîéñòâ ÷åòûðåõïîëþñíèêîâ
171
Ðèñ. 13.2
Ïîëüçóÿñü ðåøåíèåì ýòèõ óðàâíåíèé, ïðèâåäåííûì â § 5.11, è ó÷èòûâàÿ, ÷òî
ïðàâûå ÷àñòè âñåõ óðàâíåíèé, êðîìå ïåðâûõ äâóõ, ðàâíû íóëþ, ïîëó÷èì âûðàæå-
íèÿ äëÿ âõîäíîãî
&
I
1
è âûõîäíîãî
&
I
2
òîêîâ ÷åðåç âõîäíîå
&
U
1
è âûõîäíîå
&
U
2
íàïðÿ-
æåíèÿ:
&
&
&
;
&
&
&
.
I
U
U
I
U
U
1
11
1
21
2
2
12
1
22
2
=
-
=
-
D
D
D
D
D
D
D
D
Îòíîøåíèÿ
D
11
/
D
,
D
22
/
D
,
D
12
/
D
è
D
21
/
D
, èìåþùèå ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè,
îáîçíà÷èì, ñîîòâåòñòâåííî:
D
D
D
D
D
D
D
D
11
11
22
22
12
21
21
12
=
-
=
=
-
=
Y
Y
Y
Y
;
;
.
è
Òîãäà óðàâíåíèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà, çàïèñàííûå ÷åðåç
Y
-ïàðàìåòðû, ïðèíè-
ìàþò âèä
&
&
&
;
&
&
&
.
I
Y U
Y U
I
Y U
Y U
1
11 1
12
2
2
21 1
22
2
=
+
=
+
Äëÿ ëèíåéíîé ïàññèâíîé öåïè
D
12
= D
21
, è ïîýòîìó
Y
12
=
–
Y
21
.
Ðåøèâ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íàïðÿæåíèé
&
U
1
è
&
U
2
,
ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ ÷åòûðåõïîëþñíèêà, çàïèñàííûå ÷åðåç
Z
-ïàðàìåòðû, èìåþ-
ùèå ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ:
&
&
&
;
&
&
&
,
U
Z I
Z I
U
Z I
Z I
1
11 1
12 2
2
21 1
22 2
=
+
=
+
ãäå
Z
Y
Y Y
Y Y
Z
Y
Y Y
Y Y
Z
Y
11
22
11 22
12 21
22
11
11 22
12 21
12
12
=
-
=
-
=
-
;
;
Y Y
Y Y
Z
Y
Y Y
Y Y
11 22
12 21
21
21
11 22
12 21
-
=
-
-
;
,
ïðè ýòîì
Z
12
=
–
Z
21
.
Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé ôîðìîé çàïèñè óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà ÿâ-
ëÿåòñÿ òàêàÿ, ïðè êîòîðîé âõîäíûå âåëè÷èíû
&
U
1
è
&
I
1
âûðàæàþòñÿ ÷åðåç âûõîä-
íûå
&
U
2
è
&
I
2
. Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà, çàïèñàííóþ ÷åðåç
Z
-ïà-
ðàìåòðû, îòíîñèòåëüíî
&
U
1
è
&
I
1
, ïîëó÷àåì
&
&
&
;
&
&
&
,
U
AU
BI
I
CU
DI
1
2
2
1
2
2
=
+
=
+
ãäå
A Z
Z
B
Z Z
Z Z
Z
C
Z
D
Z
Z
=
= -
-
=
= -
11
21
11 22
12
21
21
21
22
21
1
;
;
;
.
Çàìåòèì, ÷òî
A
è
D —
áåçðàçìåðíûå,
B
èìååò ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ,
C
— ðàçìåðíîñòü ïðîâîäèìîñòè.
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøåíèå
Z
12
=
–
Z
21
, ÷òî ìåæäó ïàðàìåòðàìè
A
,
B
,
C
è
D
÷åòûðåõïîëþñíèêà ñóùåñòâóåò ñâÿçü
AD BC
-
=
1.
Íàëè÷èå ýòîé ñâÿçè, òàê æå êàê è ñâÿçè
Y
12
=
–
Y
21
è
Z
12
=
–
Z
21
, ïîêàçûâàåò, ÷òî
ïðè ëþáîé ôîðìå çàïèñè óðàâíåíèé ÷åòûðåõïîëþñíèêà íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþò-
ñÿ òîëüêî òðè ïàðàìåòðà.
172
×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé