Материал: Динамика. методические указания к организации самостоятельной работы по дисциплине «Теоретическая механика». Зульфикарова Т.В

она является скалярной величиной и ее размерность зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты

.

Сформулируем условие равновесия голономной механической системы в обобщенных координатах. Для этого воспользуемся принципом возможных перемещений: системы находится в равновесии, если сумма элементарных работ активных сил системы на любом возможном ее перемещении равна нулю

Для равновесия голономной механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам, обращались в нуль.

Получим уравнение движения голономной механической системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа). Используем общее уравнение динамики голономной механической системы с идеальными связями

Отсюда следуют уравнения Лагранжа первого рода:

мены и подстановки в уравнения (3.52) получим уравнения Лагранжа второго рода

̇

Уравнения (3.54) представляют собой дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщённых координатах, или дифференциальные уравнения Лагранжа второго рода. Число этих уравнений равно числу степеней свободы системы. Уравнения Лагранжа дают единый метод решения задач динамики

3.9. Задача Д5. Применение уравнений Лагранжа к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

В задаче Д5 следует применить уравнения Лагранжа второго рода для определения ускорения центра масс тела или углового ускорения тела в соответствии с заданием из таблицы Д4.

Остальные данные (схемы и необходимые числовые значения) взять из

задачи Д2 (см. табл. Д2, рис. Д2.0…Д2.9). Считать силу постоянной и равной 10 Н. Качение тел происходит без проскальзывания, трением скольжения груза можно пренебречь.

Считать силу F постоянной и равной 10 Н. Блоки и катки, для которых радиусы инерции не заданы, считать сплошными однородными цилиндрами.

Пример выполнения задачи Д5

Механическая система (рис. Д5) состоит из груза 1, сплошного цилиндрического катка 2, ступенчатого шкива 3 с радиусами ступеней и (радиус инерции шкива ). Тела системы соединены друг с другом нерастяжимыми нитями, намотанными на шкив 3.

32

Под действием постоянной силы система приходит в движение из со-

Определить: – ускорение первого тела

Решение

Механическая система имеет одну степень свободы (S=1). Поэтому для определения ее положения достаточно одной обобщенной координаты. Так как по условию задачи требуется определить ускорение первого тела, которое совершает поступательное прямолинейное движение, то выберем линейную обобщенную координату , следящую за перемещением центра масс первого тела вдоль наклонной поверхности (рис. Д5).

̇

где – кинетическая энергия системы;

–обобщенная сила системы;

–сумма элементарных работ внешних сил системы на приращении выбранной обобщённой координаты.

Определяем кинетическую энергию системы, выразив её через обоб-

щенную скорость ̇

.

Первое тело системы совершает поступательное движение со скоростью ̇ , следовательно, его кинетическая энергия

33

̇ ̇.

Второе тело совершает плоское движение, которое представим, как сумму поступательного и вращательного движений

Третье тело совершает вращательное движение с угловой скоростью

⁄̇, его кинетическая энергия

Результат расчета согласуется с ранее выполненным решением задачи Д4, которая использует ту же расчетную схему и те же исходные данные.

Ответ:

34

БИЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики: В 2 т. / Н.В. Бутенин, Я.Л.

Лунц, Д.Р. Меркин. – М.: Наука, 1985. – Т. 1. – 240 с. – Т. 2. – 496 с.

2.Никитин, Н.Н. Курс теоретической механики: Учеб. для машиностроит. и приборостроит. спец. вузов. – 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк.,

1990. – 607 с.

3.Новожилов, А.И. Краткий курс теоретической механики / А.И. Новожилов. – Владимир: Изд-во Владим. гос. ун-та, 2006. – 240 с.

4.Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики/ С.М. Тарг. – М.:

Наука, 1970. – 369 с.

5.Теоретическая механика: методические указания и контрольные задания / сост.: Л. И. Котова [и др.]. – М. : Высш. шк., 1989. – 50 с.

6.Яблонский, А.А. Курс теоретической механики: В 2 ч. / А.А. Яблонский.

– М.: Высш. шк., 1984.

35