Материал: Динамика. методические указания к организации самостоятельной работы по дисциплине «Теоретическая механика». Зульфикарова Т.В

III. ДИНАМИКА

Динамика – раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных точек и тел под действием приложенных к ним сил и в зависимости от наложенных на них связей.

3.1. Динамика материальной точки

Дифференциальное уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона): ускорение, приобретенное материальной точкой в инерциальной системе отсчета, прямо пропорционально приложенной к ней силе и обратно пропорционально ее массе

Закон независимости действия сил (принцип суперпозиции): каждая из действующих на материальную точку сил сообщает ей ускорение, независимо

от других приложенных сил ⁄ .

Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона): два материальные точки действуют друг на друга силами, равными по величине и направленными вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Системы отсчета, в которых выполняются законы динамики Ньютона, называются инерциальными.

Проецируя обе части векторного равенства (3.1) на координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в де-

В динамике рассматриваются задачи двух типов: прямая и обратная. Прямая задача динамики: зная силы, действующие на материальную

точку, ее массу и начальные условия (начальное положение точки и ее начальную скорость), получить уравнения движения точки. Для решения этой задачи необходимо дифференциальные уравнения движения (3.1, 3.2) дважды

направление равнодействующей сил, приложенных к точке. Продифференцировав уравнения движения дважды можно определить проекции равнодействующей на координатные оси

̈,

6

3.2. Задач Д1. Дифференциальное уравнение движения точки

Тело D, имеющее массу m, получив в точке А начальную скорость V0, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости

(рис. Д1.0–Д1.9).

7

На участке АВ на тело, кроме силы тяжести, действуют постоянная сила , направленная вдоль трубы, и сила вязкого трения , зависящая от скоро-

сти груза (направлена против движения). В точке В тело изменяет направление движения, но не изменяет величины своей скорости. На участке BC на те-

ло, кроме силы тяжести, действуют силы сухого трения (коэффициент тре-

ния груза о трубу ) и переменная сила , проекция которой на ось х задана в табл. Д1. Там же приведены величины m, V0, Q, расстояние между

Считая тело материальной точкой, необходимо найти: закон движения груза на участке ВС ( ), где , или скорость тела на этом участке

( ).

Указания

Решение задачи Д1 состоит из двух частей.

Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки D на участке АВ, при этом постоянные интегрирования можно определить из начальных условий. Для определения скорости тела в точке В необходимо воспользоваться известным временем движения на участке АВ ( АВ) или его длиной l. Эта скорость будет начальной для движения тела на участке ВС.

После этого необходимо составить и проинтегрировать дифференциальное уравнение движения на участке ВС также с учетом начальных условий, найти требуемую функцию координаты или проекции скорости .

8

Пример выполнения задачи Д1

На участке АВ трубы (см. рисунок) на груз D массой m действуют сила тяжести , постоянная сила и сила сопротивления и нормальная составляющая реакции трубы . Время движения от точки А до точки В рав-

3.3. Теоремы динамики механической системы

Под механической системой понимается совокупность материальных точек, которые взаимодействуют между собой силами притяжения или отталкивания. Например, движение коленчатого вала двигателя внутреннего сгорания зависит от движения его поршней; движение планет солнечной системы обусловлено силами их взаимного притяжения и т. д. При изучении движения

механических систем силы принято разделять на внешние и внутренние . Внешними называются силы, с которыми действуют на точки и тела данной механической системы другие тела, не входящие в нее. Внутренними называются силы, которыми точки и тела данной системы действуют между собой. Внутренние силы обладают замечательными свойствами: они возникают попарно, действуют по прямой в противоположные стороны. Поэтому сумма всех внутренних сил системы равна нулю и сумма моментов всех внут-

где – масса отдельной точки системы;

– радиус-вектор, определяющий положение этой точки системы;

– радиус-вектор, определяющий положение центра масс системы;

10