Материал: Электромагнитные волны и колебания в устройствах СВЧ. Филатов И.А

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

divrot A

A

A 0 .

2. Вычислим rotgrad

rotgrad

0 .

3. Рассмотрим выражение divgrad

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2

 

divgrad

div 1x

 

 

1y

 

 

1z

 

 

 

 

 

 

 

 

,

x

y

z

x2

 

y 2

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

- оператор Лапласа.

 

 

 

 

 

 

x2

 

y 2

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

Через

набла-

вектор

divgrad

 

можно

выразить

следующим образом:

divgrad

2

2

.

 

4. Приведем без доказательства еще одно тождество векторного анализа, используемое в теории электромагнитного поля:

graddivA rotrot A

2 A .

(1.48)

Это соотношение устанавливает связь между graddivA и

rotrot A .

Следовательно, оператор существенно упрощает математические операции.

38

1.4.2. Уравнения Гельмгольца и волновой характер электромагнитного поля

Самым важным результатом исследований Максвелла явилось доказательство им теоретическим путем волнового характера электромагнитных процессов, к особенностям которых относится то, что колебания одновременно происходят не в одной, а во всех точках пространства, где сосредоточено поле. Колебательное движение непрерывной среды называют волновым процессам.

Уравнения Максвелла могут быть преобразованы в уравнения, заведомо описывающие волновые процессы. Для упрощения математических выкладок будем считать, что объемная плотность зарядов и плотность сторонних токов

ст равны нулю. Воспользуемся первыми двумя уравнениями Максвелла в комплексной форме:

 

 

 

rotH

j

a E ,

rotE

j

a H ,

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

где

~

 

j /

-

 

комплексная

 

диэлектрическая

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проницаемость среды (вещества).

Применяя операцию ротора к обеим частям какоголибо из уравнений, например первого, и учитывая второе равенство, можно оба уравнения свести к одному:

 

j

~

2 ~

 

2

(1.49)

rotrotH

a rotE

a

a H

H,

где ~a a - комплексная величина, которую называют

либо постоянной распространения электромагнитной волны, либо фазовой постоянной, или волновым числом.

Для H , принимая во внимание (1.48), запишем:

 

 

2

graddivH

rotrotH

H .

Поскольку divH 0 , то

2 H rotrotH 0

39

или с учетом (1.49)

2

2

(1.50)

H

H 0 .

 

Для

электрического поля при принятых

допущениях

(

0,

ст

0 ) справедливым будет точно такое же по форме

 

 

 

 

соотношение, что и (1.50):

 

 

 

2

2

(1.51)

 

 

E

E 0 .

Уравнения (1.50) и (1.51) называют уравнениями Гельмгольца, они описывают стационарные волновые процессы. Такие процессы характеризуются тем, что у них const . Следовательно, формулы (1.50) и (1.51) действительно подтверждают волновую природу электромагнитных полей.

Обратим внимание на то, что математический аппарат данного параграфа является хорошей иллюстрацией использования в электродинамике оператора Гамильтона и векторных дифференциальных операций первого и второго порядков.

Уравнения Гельмгольца могут быть представлены и в координатной форме. Так, для (1.50) будем иметь

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

 

 

 

 

)(H x 1x

 

H y 1y

H z 1z )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

y 2

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1x

 

1y

1z ) 0

 

 

 

 

 

(H x

H y

H z

 

 

 

или

40

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

H x

 

 

 

H x

 

 

 

 

H x

2

 

 

 

x 2

 

 

 

y 2

 

 

 

 

z 2

 

H x

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

H y

 

 

 

 

H y

 

 

 

 

H y

2

 

 

 

x 2

 

 

y 2

 

 

 

z 2

 

H y

0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

H z

 

 

 

H z

 

 

 

 

H z

2

 

 

 

 

x 2

 

 

 

y 2

 

 

 

 

z 2

 

H z

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение полученной системы уравнений существенно упрощается, если поле не имеет составляющих или не изменяется вдоль какихлибо координатных осей [2].

Для электрического поля соотношения, подобные (1.52)- (1.54), приведем в виде одной обобщенной формулы

2

 

2

 

2

 

 

Ex, y,z

 

Ex, y,z

 

Ex, y,z 2

 

x2

 

y 2

 

z 2

Ex, y,z

0 .

 

 

 

 

1.5. Вектор Пойнтинга

Вектором Пойнтинга называют вектор плотности потока электромагнитной энергии. Его модуль равен энергии, переносимой за единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярной к направлению распространения электромагнитной волны. В практической системе единиц СИ вектор Пойнтинга определяется соотношением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

EH .

 

(1.55)

Из

этого равенства видно, что

вектор

 

является

 

 

 

 

 

векторным

произведением E на H

и соответственно

направлен перпендикулярно к плоскости, в которой расположены векторы напряженностей электрического и магнитного полей.

Отметим, что при любой структуре электромагнитной волны и в любой точке пространства всегда будет

41

справедливым приведенное соотношение

между векторами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, E и H .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Направление вектора

 

устанавливается правилом Ампера

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(правило "буравчика"), то есть вектор

должен быть

 

 

 

направлен так, чтобы можно было видеть из его конца

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вращение от вектора E к вектору H по кратчайшему пути

 

 

(соответствующему углу в 900 ) против часовой стрелки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Графически векторы

 

 

, E и H изображены на рис.7

Из (1.55) следует, что распространение электромагнитной энергии возможно лишь при наличии обеих составляющих электромагнитной волны - электрического и магнитного полей. Направление распространения волны в какойлибо точке пространства совпадает с направлением вектора .

.

Рис.7 На практике нередко требуется выражать составляющие

по координатным осям для одного вектора через составляющие двух других векторов, входящих в (1.55). В существующих литературных источниках такие формулы отсутствуют.

Выразим сначала

составляющие вектора

 

через

 

 

 

 

составляющие векторов

E и H в прямоугольной системе

координат:

 

 

 

 

 

 

 

42

Источник: https://studfile.net/preview/16569684/

Смотрите также:

_3 тема - Диффузия
02_ЛР
05. Частная патология ССС - Инфаркт миокарда
0501 Конунников ЛР10-3
07
07-20-FunctionGenomApplic-Metagenom
07. ПА_Лекция 7_Патология энд.жел
09_ЛР
1 Нет ответа Балл 1,0 Отметить вопрос
1 ответ