Материал: Электростатика. учебное пособие. Янов Г.В., Барсукова А.И

Силовые линии указывают направление поля, то есть направление результирующей силы, действующей на пробный заряд. Каждая силовая линия – это линия, вдоль которой малый пробный заряд перемещается под действием электрического поля. В каждой точке силовой линии касательная к ней совпадает с направлением результирующей сил притяжения и отталкивания со стороны всех других зарядов, действующих на пробный заряд. На рис. 4 показаны графические изображения электрического поля для некоторых случаев:

а) поле уединенного положительного заряда;

б) поле уединенного отрицательного заряда;

в) поле одинаковых по величине зарядов разных знаков;

г) поле различных по величине зарядов разных знаков;

д) поле одинаковых по величине зарядов одинаковых знаков.

Рис. 4

Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках пространства, называется однородным. Силовые линии напряженности электрического поля не замкнуты, они начинаются на положительных и оканчиваются на отрицательных зарядах. Линии напряженности непрерывны и не пересекаются. Силовые линии гуще там, где напряженность поля больше.

1.4. Работа электрических сил при перемещении заряда в поле

Определим работу А, которая совершается силой F электростатического поля неподвижного, например, положительного точечного заряда q над положительным пробным зарядом q , перемещающимся в этом поле, напряженность которого Е, из точки 1, положение которой по отношению к заряду q определяется радиус-вектором r₁, в точку 2, положение которой определяется радиус-вектором r₂ (рис. 5).

Рис. 5

В общем случае, независимо от того, что является причиной движения пробного заряда от точки 1 до точки 2 по траектории, длина которой равна L, элементарная работа, совершаемая силой F на отрезке пути dL, по определению, равна

dA = (F, dL) = F∙ dL cosα = q ∙ E ∙ dL cosα = q ∙ E ∙ dr =

= q ∙ ∙ dr,

где Е = F / q – напряженность электростатического поля в данной точке пространства, положение пробного заряда q в которой определяется радиус-вектором r; так как в нашем случае на движущийся пробный заряд действует электростатическая сила отталкивания, то угол α – это угол между вектором силы F ( или Е, так как векторы F и Е направлены в одну сторону) и элементарным перемещением пробного заряда dL; dr = dL · cosα – приращение радиуса-вектора r.

Из полученного соотношения для элементарной работы получается:

dA = q ∙ E ∙ dr = F∙ dr

откуда следует, что работа производится только на участке dr вдоль действия силы F. Полная работа электрических сил поля на протяжении всего пути от точки 1 до точки 2 равна:

А = = = = - ( ),

Работа A не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной и конечной точек. Следовательно, электростатическое поле точечного заряда является потенциальным, а электростатические силы — консервативными.

Таким образом, работа перемещения заряда в электростатическом поле по любому замкнутому контуру L равна нулю:

Если переносимый заряд единичный, то элемен­тарная работа сил поля на пути dL равна ЕdL. Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности по заданному замкнутому контуру L.

Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля:

циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.

Силовое поле, обладающее таким свойством, называется потенциальным. Эта формула справедлива только для электрического поля неподвижных зарядов (электростатического поля).

Потенциальная энергия заряда

В потенциальном поле тела обладают потенциальной энергией и работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии.

Поэтому, работу А можно представить как разность потенциальных энергий заряда q_пр в начальной и конечной точках поля заряда q:

.

Потенциальная энергия заряда q_пр, находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него равна

Считая, что при удалении заряда на бесконечность, потенциальная энергия обращается в нуль, получаем: const = 0.

Для одноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой n точечных зарядов, то потенциальная энергия заряда q_пр, находящегося в этом поле, равна сумме его потенциальных энергий, взаимодействия со всеми зарядами:

1.5. Потенциал электрического поля

По аналогии с напряженностью электрического поля, можно ввести скалярную величину φ = W / q , называемую электрическим потенциалом поля, которая не зависит от величины q и характеризует только свойства электрического поля в данной точке. Множество значений потенциала в разных точках электрического поля образуют скалярное поле – поле, которое описывается скалярной функцией (или скалярной физической величиной), не меняющейся при повороте всей системы.

Электрический потенциал – это энергетическая характеристика электрического поля, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. В СИ единицей электрического потенциала служит: 1Дж / К л = 1К л / м = 1В.

Выразим значение работы электростатического поля через разность потенциалов. Учитывая, что потенциальная энергия взаимодействия пробного заряда с источником поля в данной точке равна W = q ∙ φ, можно написать уравнение для работы электрических сил в виде:

A = - q ∙ (φ₂ – φ₁) = q ∙ (φ₁ – φ₂) = q ∙ U,

где множитель уравнения φ₁ – φ₂ = U представляет собой разность потенциалов, которую называют напряжением. Напряжение это величина, которая позволяет рассчитать величину энергии, отдаваемой зарядом в электрической цепи. Если пробный заряд, внесенный в поле, удаляется из точки с потенциалом φ₁ в бесконечность, где при r→ потенциал φ₂ → 0, то работа электрических сил поля равна

А = q ∙ φ₁,

откуда следует, что потенциал, например, в точке поля 1,

φ₁ = А / q численно равен работе сил поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля в бесконечность.

Величина потенциальной энергии заряженного тела определяется уровнем потенциальной энергии.

Уровнем потенциальной энергии заряженного тела называется плоскость, поверхность или линия, относительно которой рассматривается величина потенциальной энергии заряженного тела.

Любой произвольно выбранный уровень, относительно которого потенциальная энергия заряженного тела равна нулю, называют нулевым уровнем.

Часто за нуль потенциала принимается не значение его в бесконечности, а значение потенциала Земли. Однако, это несущественно, так как во всех практических расчетах важно знать разность потенциалов между двумя точками электростатического поля, а не абсолютные значения потенциалов в этих точках.

Эквипотенциальной областью (объемом, поверхностью, линией) называется геометрическое место точек в электростатическом поле, имеющих одинаковый потенциал φ(x, y, z) = const. В любой точке эквипотенциальной области вектор напряженности электростатического поля перпендикулярен (нормален) к ней и направлен в сторону убывания потенциала.

1.6. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

Электростатическое поле можно описать как с помощью векторной функции Е – напряженности поля, так и с помощью скалярной функции φ – потенциала поля. Естественно, что между силовой и энергетической характеристиками одной и той же точки электростатического поля существует однозначная зависимость.

1.7. Теорема Остроградского - Гаусса

Основной теоремой электростатики, вытекающей из закона Кулона и выражающей тот факт, что электрические заряды являются источниками электрического поля, считается теорема Остроградского - Гаусса.

Данная теорема устанавливает связь потока напряженности Е электрического поля через замкнутую поверхность S с величиной заряда q, находящегося внутри этой поверхности.

Как известно, для графического изображения полей используют силовые линии (линии напряженности) поля. Поток вектора напряженности Е пропорционален числу силовых линий, пронизывающих поверхность. Из теорем Остроградского – Гаусса следует, что силовые линии начинаются и заканчиваются на зарядах, а в отсутствие зарядов непрерывны. При этом, теорема Остроградского – Гаусса и непрерывность силовых линий является следствием того, что кулоновская сила убывает с расстоянием как 1 / r².

Поток вектора напряженности Е. Слову «поток» сквозь поверхность придается смысл «поверхностного интеграла от нормальной составляющей» некоторого вектора. Поверхность может быть замкнутой и незамкнутой.

По определению, поток вектора напряженности Е (который будем обозначать Ф_Е) сквозь, например, замкнутую поверхность S, ограничивающую объем V, есть алгебраическая величина, определяющая число силовых линий, пересекающих данную поверхность. При этом, в месте выхода силовых линий из объема нормальная составляющая вектора Е_n к данному участку поверхности dS считается положительной, то есть Е_n>0, и элементарный поток вектора напряженности через поверхность dS также положительный dФ_Е > 0, а в месте входа силовых линий в объем, соответственно, Е_n < 0 и dФ_Е < 0. Суммарный поток поля Е через поверхность S расчитывается по формуле:

Ф_Е = dФ_Е = E cosα· dS = E_n dS = (E_,dS),

где α – угол между силовой линией, пронизывающей поверхность dS, и нормалью n к поверхности S в данном месте, dS –вектор, длина которого равна площади поверхности dS, а направление совпадает с вектором n.

Если поверхность S не окружает точечный заряд, то суммарный поток Е через любую поверхность S в поле точечного заряда равен нулю (рис. 6).

Рис.6

Однако, если точечный заряд находится внутри поверхности S, поток поля Е наружу не равен нулю. Очевидно, что поток через S равен потоку через поверхность S^’, которая целиком окружена поверхностью S. Пусть поверхность S^’ это малая сфера с радиусом r c положительным точечным зарядом q в центре (рис. 7).

Рис. 7

Поток вектора напряженности электростатического поля Е через сферическую поверхность S^’ = 4r², охватывающую точечный заряд q, равен q / ε₀, так как значение Е повсюду на поверхности сферы радиуса r равно (q / 4 r²) и направлено всегда по нормали к поверхности:

Ф_Е = E_n ∙ dS = ∙ 4r² = .