Материал: Электростатика. учебное пособие. Янов Г.В., Барсукова А.И

2.2. Диэлектрики в электростатическом поле

Поляризация диэлектрика. Диэлектриком называют вещество, которое не проводит электрический ток, так как, в этом веществе отсутствуют свободные заряды (или их ничтожно мало). Тем не менее, в присутствии диэлектрика происходит ослабление электрического поля. Это свидетельствует о том, что при помещении диэлектрика в электрическое поле в объеме и на поверхности появляются макроскопические заряды. Указанные заряды возникают в результате поляризации диэлектрика – смещении связанных зарядов отдельных молекул или кристаллической решетки друг относительно друга. При поляризации средний дипольный момент молекул становится отличным от нуля, и возникает дипольный момент объема диэлектрика. Вне поля суммарный дипольный момент диэлектрика равен нулю.

Поляризованность. В общем случае любую молекулу можно рассматривать как электрический диполь (рис. 3). Степень поляризации в данной точке диэлектрика характеризуют поляризованностью Р, определенной как суммарный дипольный момент молекул в расчете на единицу объема:

Р = ∑ р_i / ∆V = n ∙ < p >,

где n – концентрация молекул, < p > - средний дипольный момент. В СИ единицей измерения поляризованности служит Кл / м².

Внешнее электрическое поле ориентирует диполь вдоль поля. При этом дипольный момент р стремится, чтобы его направление совпадало с направлением вектора напряженности Е внешнего поля. Во внешнем поле на диполь действует вращательный момент пары сил и момент электрических сил устанавливает дипольный момент по направлению внешнего поля (рис. 9):

М = [L, F] = [p, E].

Рис. 9

Энергия диполя. В ориентированном положении потенциальная энергия диполя W_п минимальна. В общем случае потенциальная энергия диполя в электрическом поле равна W_п = - (p, Е), где знак «-» означает, что устойчивым равновесием является ориентация дипольного момента вдоль поля.

Механизмы поляризации. Различают три механизма поляризации диэлектриков.

1. Ориентационный механизм поляризации полярных диэлектриков. Молекулы полярного диэлектрика (полярные молекулы – жесткие диполи) обладают постоянным дипольным моментом р₀ в отсутствие внешнего поля (Н₂О, НСl, CO, NH и др.). В результате конкуренции ориентирующего действия внешнего поля и теплового движения возникает средний дипольный момент <p>, который в слабом поле пропорционален Е и убывает с ростом температуры.

2. Электронный (деформационный ) механизм поляризации неполярных диэлектриков. В отсутствие внешнего поля дипольный момент неполярной молекулы (симметричной молекулы) равен нулю (Н₂, О₂, N₂ и т. д.), то есть центр отрицательного заряда (электронного облака) совпадает с центром положительного. При включении внешнего поля центры положительного и отрицательного зарядов смещаются и возникает квазиупругая сила, пропорциональная смещению L, стремящаяся вернуть их в положение равновесия:

F = - β ∙ L.

В положении равновесия, для которого q ∙ E = β ∙ L, возникающий под действием поля индуцированный дипольный момент (упругий диполь) p = q₀ ∙ L оказывается пропорциональным напряженности поля:

р = α ∙ ε₀ ∙ Е,

где α – поляризуемость молекулы.

3. Ионная поляризация в твердых диэлектриках, обладающих кристаллической решеткой. Под действием поля подрешетка положительных ионов смещается целиком в одну сторону, а подрешетка отрицательных ионов – в другую.

Поле в диэлектрике. Результирующее поле в диэлектрике Е является суперпозицией внешнего электростатического поля Е₀ (или поля, создаваемого сторонними или свободными зарядами q в вакууме) и внутреннего поля Е’ (или поля связанных зарядов q’ в диэлектрике). Напряженность суммарного поля внутри диэлектрика равна Е = Е₀ + Е’. Механизм образования макроскопических связанных зарядов проще всего представить в случае однородной поляризации изотропного диэлектрика, для которого Р = const (рис. 10).

Рис. 10

Поляризованность Р в данной точке однородного изотропного диэлектрика возникает под воздействием электростатического поля в диэлектрике и определяется его напряженностью Е. Для не очень сильных полей Р зависит от Е линейно, Р параллельно Е и равно:

Р = ε₀ ∙ æ ∙ Е,

где ε₀ – электрическая постоянная, æ (капа) – диэлектрическая восприимчивость вещества, зависящая от строения вещества и температуры, величина безразмерная (в СИ Р измеряется в Кл / м², Е – в В / м, ε₀ – в Ф / м или в Кл / В∙м). Диэлектрическая восприимчивость æ характеризует диэлектрические свойства вещества, так же как и относительная диэлектрическая проницаемость среды ε, с которой она связана соотношениями:

ε = 1 + æ (в СИ), ε = 1 + 4π ∙ æ (в СГС).

Относительная диэлектрическая проницаемость среды ε показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме Е₀ больше, чем в диэлектрике Е:

ε = .

Диэлектрическая проницаемость вакуума равна единице

(ε = 1).

В результате поляризации на гранях диэлектрика, площадь которых, предположим, равна ∆S, заряды на концах молекулярных диполей оказываются нескомпенсированными соседними диполями, как это происходит внутри диэлектрика. Это приводит к тому, что на одной его поверхности создаются положительные связанные заряды (+q') с поверхностной плотностью (+σ'), а на другой – отрицательные (-q') с поверхностной плотностью (-σ'). Расстояние между зарядами пусть равно L. Эти электрические заряды называются связанными, так как принадлежат молекулам диэлектрика и не могут быть удалены с его поверхности. Выделенный объем диэлектрика можно рассматривать как макроскопический диполь, образованный зарядами:

(+q') = (+σ') ∙ ∆S и (-q') = (-σ') ∙ ∆S,

находящимися на расстоянии L, суммарный дипольный момент которого равен:

Р ∙ ∆V = q' ∙ L => Р ∙ L ∙ ∆S = σ' ∙ ∆S ∙ L => σ = P = ε₀ ∙ æ ∙ Е.

В общем случае поверхностная плотность связанных зарядов σ' численно равна проекции поляризованности диэлектрика Р на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика:

σ' = P_n = ε₀ ∙ æ ∙ Е_n.

Электрическое смещение. Расчет электрических полей при наличии в них диэлектрика затруднен, так как в результате поляризации диэлектрика появляется дополнительное поле связанных зарядов. На границах раздела двух сред, например, вакуум – диэлектрик – вакуум, вектор напряженности будет изменяться скачкообразно пропорционально относительной диэлектрической проницаемости диэлектрика ε, то есть при переходе из вакуума в диэлектрик напряженность поля будет уменьшаться в ε раз, а при переходе из диэлектрика в вакуум – увеличиваться в ε раз. Аналогичным образом будет изменяться и поток вектора напряженности.

Теорема Остроградского – Гаусса относительно вектора Е применима только для электрического поля в вакууме. Скачкообразное изменение вектора электростатического поля на границе раздела двух сред создает трудности при расчете полей, поэтому вводится понятие электрического смещения:

D = ε ε₀ E.

Единица измерения электрического смещения – (Кл / м²).

Электрическое смещение, создаваемое в данной точке поля электрических зарядов, равно геометрической сумме векторов электрического смещения, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности D = ∑ D_i.

Поле вектора D графически изображается линиями электрического смещения так же, как поле Е изображается силовыми линиями. Линии электрического смещения – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором электрического смещения D. Линии вектора D в отличие от силовых линий вектора Е всюду непрерывны, что упрощает расчеты полей. При этом, если в какой-либо точке найден вектор D, то всегда можно определить вектор Е = D / (ε · ε₀).

При рассмотрении входящей в теорему Остроградского – Гаусса замкнутой поверхности S, в которой заключен малый объем на границе раздела двух сред вакуум – диэлектрик, напряженность поля определяется как связанными q’, так и сторонними (свободными) зарядами q:

(Е ∙ dS) = + ,

где q и q’ - заряды, охваченные замкнутой поверхностью S, dS = n ∙ dS – вектор, направленный в сторону внешнего пространства по нормали n.

При поляризации в результате смещения на расстояние L, на которое смещаются относительно друг друга положительные и отрицательные связанные заряды в диэлектрике, через произвольную поверхность ∆S в объеме диэлектрика в направлении нормали к данной поверхности проходит заряд

∆q = n (∆S ∙ L ∙ cosφ) q₀,

где n – концентрация молекул, q₀ – величина противоположных зарядов в молекуле, (∆S ∙ L ∙ cosφ) – объем тонкого цилиндрического слоя диэлектрика, молекулы которого при поляризации пересекают эту поверхность. Можно упрощенно считать, что все молекулы имеют одинаковый дипольный момент < р > = Р / n = q₀ ∙ L (рис. 11).

Рис. 11

Проинтегрировав по любой замкнутой поверхности, найдем полный связанный заряд, вышедший из объема, охваченного замкнутой поверхностью, что означает появление внутри объема связанного заряда со знаком «-» равного:

q’ = - Р ∙ dS

После подстановки и преобразований получается следующее соотношение:

ε₀ ∙ Е ∙ dS = q - Р ∙ dS => q = ε₀ ∙ Е ∙ dS + Р ∙ dS =>

q = (ε₀ ∙ Е + Р)dS = D ∙ dS,

где D = ε₀ ∙ Е + Р = ε ε₀ E – вектор электрического смещения.

Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в диэлектрике (для вектора электрического смещения D) формулируется следующим образом: поток вектора электрического смещения D сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме сторонних (свободных) зарядов q, заключенных внутри этой поверхности

D ∙ dS = q.

2.3. Электроемкость проводников

Рассмотрим уединенный проводник — проводник, удаленный от других тел и зарядов. Из опыта следует, что разные проводники, будучи одинаково заряженными, имеют разные потенциалы.

Физическая величина С, равная отношению заряда проводника q к его потенциалу φ, называется электрической емкостью этого проводника.

Электроемкость уединенного проводника численно равна заряду, который нужно сообщить этому проводнику для того, чтобы изменить его потенциал на единицу.

Она зависит от формы и размеров проводника и от диэлектрических свойств окружающей среды. Емкости геометрически подобных проводников пропорциональны их линейным размерам.

В СИ единицей электроемкости является фарад (Ф) – это емкость проводника, потенциал которого изменяется на 1В при сообщении ему заряда в 1Кл. На практике используются дольные единицы: 1мкФ = 10^-6 Ф; 1нФ = 10^-9 Ф; 1пф = 10^-12 Ф.

В качестве примера, рассчитаем электроемкость С уединенного проводника в форме шара радиуса R, который равномерно заряжается с объемной плотностью ρ при сообщении ему заряда q.

С помощью теоремы Остроградского – Гаусса можно найти, что напряженность поля проводящего шара равна:

Е = , а потенциал равен: φ = ,

где ρ = 3q / 4π R³. После подстановки получаем С = 4π ε₀ ε R.

В СГСЭ единицей измерения электрической емкости является 1см – емкость проводяшего шара, радиус которого R = 1см.

Взаимная электроемкость двух проводников – величина С, численно равная заряду q, который нужно перенести с одного проводника на другой для того, чтобы изменить разность потенциалов между ними φ₁ – φ₂ на единицу:

С = .

Взаимная емкость зависит от формы, размеров и взаимного расположения проводников, а также от относительной диэлектрической проницаемости среды, в которой они находятся.

Конденсатор – система двух разноименно заряженных равными по абсолютной величине зарядами проводников (обкладок), имеющих такую форму и расположение друг относительно друга, что поле, создаваемое такой системой, сосредоточено (локализовано) в ограниченной области пространства между его обкладками. Все силовые линии начинаются на положительной обкладке и заканчиваются на отрицательной. Все пространство, в котором сосредоточено поле, заполнено однородным диэлектриком. Конденсатор является прибором для накопления электрических зарядов и электрической энергии. По форме обкладок выделяют плоские, цилиндрические, сферические конденсаторы. Электроемкость конденсатора является взаимной емкостью его обкладок

С = = ,

где U – напряжение между обкладками (напряжение на конденсаторе).