Материал: Электростатика. учебное пособие. Янов Г.В., Барсукова А.И

Учитывая, что элементарная работа электростатических сил поля над перемещающимся пробным положительным зарядом определяется, с одной стороны, как dA = q_пр ∙ E_L ∙ dL = q_пр ∙ E ∙ dr, а с другой, как dA = - q_пр ∙ dφ, можно записать следующие соотношения: q_пр ∙ E_L ∙ dL = q_пр ∙ E ∙ dr = - q_пр ∙ dφ, откуда получаются уравнения

E_L = - , Е = - .

Зная напряженность Е(r), можно вычислить разность потенциалов и потенциал поля:

φ (r₁) - φ (r₂) = E dr, φ (r) = E dr,

где r₀ – точка, в которой потенциал принят равным нулю. Зная значение потенциала φ (r), можно найти проекцию напряженности на любое направление и, соответственно, вектор напряженности:

E = - (i· + j · + k · ) = - grad φ,

где i, j и k – единичные векторы, а величина grad φ (читается как “градиент фи”, или “градиент потенциала”) – это векторная величина, направленная в сторону наиболее быстрого возрастания потенциала φ, навстречу вектору напряженности поля Е, направленному в сторону убывания потенциала поля, и показывающая быстроту изменения потенциала в выбранном направлении. Понятие градиента применяется для характеристики скалярных полей. В общем случае, градиент скалярной функции – это вектор, определяющий приращение функции на элементе пути.

Получается, что поток Ф_Е равен числу, не зависящему от радиуса сферы. Значит, и поток Ф_Е наружу через произвольную поверхность S тоже равен q / ε₀, и это значение не зависит от формы S до тех пор, пока заряд q находится внутри S, и равен нулю если заряд q не охвачен замкнутой поверхностью, то есть находится снаружи S.

Интегральная форма теоремы Остроградского – Гаусса формулируется следующим образом: поток Ф_Е вектора напряженности Е электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов q = , деленной на электрическую постоянную ε₀.

Если заряд непрерывно распределен по объему с плотностью ρ, то величина заряда равна q = ρ∙dV и поток вектора Е равен Ф_Е= ρ∙dV.

Дифференциальная форма теоремы Остроградского Гаусса. Запишем закон Остроградского – Гаусса через производные, то есть в дифференциальной форме, применив его к поверхности бесконечно малого объема с суммарным зарядом внутри:

Ф_Е = E_n dS = =>

E_n dS) = =>

E_n dS = =>

E_n dS) = =>

div E = ,

где = - средняя объемная плотность заряда внутри ограниченного малого объема.

Получается, что поток Е из малого объема равен дивергенции векторного поля div E, умноженной на объем dV. Отсюда следует, что дивергенция вектора Е в данной точке поля – это поток Е («истечение» Е наружу) на единицу объема, взятого в окрестности этой точки поля.

Дивергенция («расхождение» или «схождение») векторного поля Е в данной точке – это величина, численно равная количеству точек на единицу объема (плотности), в которых начинаются силовые линии Е и, в этом случае,

div E > 0, а элемент объема является источником поля и в нем заключен положительный заряд; либо силовые линии оканчиваются в этих точках и тогда div E < 0, а элемент объема является стоком поля и содержит отрицательный заряд. В общем случае выражение для дивергенции Е равно:

div E = .

К основным законам электростатики можно отнести:

- закон Остроградского – Гаусса: поток электрического поля из объема пропорционален заряду внутри него;

- циркуляция электростатического поля равна нулю :

- Е есть градиент потенциала.

2. Электростатическое поле в веществе

2.1. Проводники в электростатическом поле

По электропроводности, то есть способности проводить электрический ток, все вещества делятся на проводники, диэлектрики (изоляторы), полупроводники.

Проводником называется вещество, проводящее электрический ток и содержащее большое количество свободных зарядов (например, электроны проводимости в металлическом проводнике), которые способны перемещаться по объему проводника.

Под действием внешнего электростатического поля Е_внеш свободные электроны в металлическом проводнике смещаются, что приводит к образованию избытка отрицательного заряда - электронов на одной стороне проводника, а на другой – избытка положительного заряда (рис. 8).

Рис. 8

В результате смещения свободных электронов внутри металлического проводника возникает внутреннее электрическое поле Е_внут (поле смещенных зарядов), направленное навстречу внешнему полю и уравновешивающее его таким образом, что напряженность результирующего поля в любой точке внутри проводника равна нулю (Е = Е_внеш + Е_внут = 0). В электростатике рассматривается состояние, в котором заряды пришли в равновесие (то есть отсутствует направленное движение зарядов – электрический ток). Это значит, что всюду в объеме проводника после установления равновесия напряженность поля Е = q / (4 r²) должна быть равна нулю, так как заряд внутри проводника отсутствует (q = 0). Внутренняя полость в замкнутом проводнике экранируется от внешних электростатических полей. На этом основана электростатическая защита.

Из вышеизложенного следует:

• В целом нейтральный сплошной или полый проводник одинаково разрывает силовые линии внешнего электрического поля.

• Во внешнем поле наблюдается явление электростатической индукции (электризация незаряженного проводника, заключающаяся в разделении положительных и отрицательных зарядов) и появляются статические индуцированные заряды (смещенные заряды) на поверхности проводника, которые исчезают при удалении проводника из электростатического поля.

• Потенциал всех точек проводника имеет одинаковое значение, которое называют потенциалом проводника. Разность потенциалов между любыми точками проводника равна нулю.

• В заряженном проводнике нескомпенсированные электрические заряды располагаются только на его поверхности. Поверхность и объем проводника являются эквипотенциальными. Проводник представляет собой замкнутую эквипотенциальную область:

Е = -grad φ = 0 => (dφ / dl) = 0 => φ = const.

• Во всех точках поверхности проводника нормальная составляющая вектора напряженности результирующего поля Е = Е_n ≠ 0, а тангенциальная составляющая Е_τ = 0.

• Плотность заряда на поверхности проводника зависит от величины и направления кривизны поверхности:

- на выпуклых поверхностях (положительная кривизна) – растет;

- на вогнутых поверхностях (отрицательная кривизна) – убывает.

• Пусть поверхностная плотность заряда проводника равна σ = q / S, где q – индуцированный заряд на поверхности проводника, S - площадь поверхности проводника. С помощью теоремы Остроградского – Гаусса можно рассчитать величину напряженности Е электростатического поля вблизи поверхности проводника:

Ф_Е = E_n dS = E_n ∙ S = E ∙ S = => Е = .