2
Министерство образования Красноярского края
Краевое государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Красноярский технологический техникум пищевой промышленности»
Реферат
На тему: «Фигурные числа»
Автор: Кабак Полина Владимировна
Красноярск 2018
Содержание
Введение
1. История возникновения фигурных чисел
2. Виды фигурных чисел
3. Классические многоугольные числа
4. Центрированные полигональные числа
5. Многомерные фигурные числа
6. Значение фигурных чисел в нашей жизни
Заключение
Список источников
Приложения
Введение
Еще Пифагор сказал: «Числа правят миром». Действительно, числа окружают нас повсюду. С помощью них не только записывают результаты измерений, сравнивают величины, вычисляют, но даже рисуют, проектируют, сочиняют, играют, делают умозаключения, выводы. В своей исследовательской работе я решила заглянуть за страницы школьного учебника и рассмотреть историю фигурных чисел, их использование не только в математике, но и в окружающей жизни. В современной науке и практике известны множество видов и типов фигурных чисел. Они используются в молекулярном строении, в продуктовых предприятиях, во всех математических направлениях и т.д.
Цель работы: подробно изучить и исследовать одно из понятий математики - «фигурное число» и выявить его роль в нашей современной жизни.
Задачи работы:
1. Собрать и проанализировать по различным научным и учебным источникам материал по данной теме;
2. Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел;
3. Изучить виды фигурных чисел и их свойства;
4. Представить примеры видов фигурных чисел;
5. Рассмотреть возможности применения фигурных чисел в повседневной жизни (в живописи, архитектуре, дизайне и других сферах).
Методы исследования:
· Изучение и анализ литературы;
· Сбор и анализ информации;
· Подбор примеров фигурных чисел, которые играют большую роль в нашей современной жизни.
1. История возникновения фигурных чисел
Фигурные числа использовались еще в V - IV веках до н. э. Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором, который считал, что главная наука о числе - арифметика, неразрывно связана с геометрией и потому числа, соотносящиеся с правильными геометрическими фигурами, назывались фигурными, и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней "семя и вечный корень". Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения", т.е. пифагорейские числа в современной терминологии - это натуральные числа. Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными числами.
Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это - развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучении чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический, с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами. В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.
Вообщем, фигурные числа -- общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Предположительно, с понятием фигурного числа связано выражение «возвести число в квадрат или в куб».
2. Виды фигурных чисел
Виды фигурных чисел весьма отличаются друг от друга. Их можно представить, как просто цифрами, так и в виде взаимосвязанных различных структур каких-либо предметов. Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурных чисел:
· Линейные числа -- числа, которые делятся на единицу и на самих себя, выраженные в виде последовательности точек, выстроенных в линию: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, …
· Плоские числа -- числа, выраженные в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2•3): 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, …
· Частным случаем являются прямоугольные числа, являющееся произведением двух последовательных целых чисел, то есть имеющие вид: n(n+1)
· Телесные числа -- числа, выраженные произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2•2•2): 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 66, 68, 70, 72, 75, 76, 78, 80, 81, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 108, 110, 112, 114, 116, 117, 120, 124, 125, 126, 128, 130, 132, 135, 136, 138, 140, 144, …
· Многоугольные числа (полигональные) -- числа, ассоциированные с определённым многоугольником. Они в свою очередь делятся на: классические многоугольные числа, центрированные полигональные числа и многомерные фигурные числа.
3. Классические многоугольные числа
Есть основание предполагать, что в общем многоугольные числа возникли у вавилонян при расчетах мощения пола кирпичом. Из Вавилона они перешли к грекам. Диофант написал целую книгу о многоугольных числах (IV--III вв. до н. э.). Историки-математики утверждают, например, что треугольные числа были известны в Индии (во II в. до н. э.), в Китае (в 1309 г.). Многоугольными числами занимались многие математики: Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, Гаусс и др. Классические многоугольные числа являются разновидностью фигурных чисел. Они включают треугольные числа, квадратные числа, а также фигуры с любым количеством углов. Многоугольное число представляет количество равноудалённых точек в правильном геометрическом распределении определенного типа. Эти типы делятся на:
· Треугольные числа. Они имеют общую формулу: n(n+1) /2. Это такие числа, как: 3,6,10,15, 21, … Их можно найти в виде точек в определенном правильном треугольнике.
· Квадратные числа. Они имеют общую формулу: n^2. Это такие числа, как: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Они также представлены в виде точек в определенном квадрате.
· Пятиугольные числа. Они имеют общую формулу: n(3n-1) /2. Это числа, порядка: 1, 5, 12, 22, 35, 51, …Они имеются в определенном пятиугольнике. И т.д.
Таким образом, получают многоугольные числа различных порядков. Обозначается порядковое q-угольное число символом . Оно определяется по формуле:
где -- порядковый номер n-угольного числа, -- сумма первых членов арифметической прогрессии, первый член которой равен нулю , а разность равна .
4. Центрированные полигональные числа
Центрированные полигональные числа -- это класс фигурных чисел, каждое сформировано вокруг центральной точки, окружённой слоями многоугольников с постоянным числом сторон. Каждый слой содержит на k больше точек, чем предыдущий (где центр слоем не считается). Центрированные полигональные числа имеют виды:
· Центрированные треугольные числа 1, 4, 10, 19, 31, … (треугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на треугольных слоях).
· Центрированные квадратные числа 1, 5, 13, 25, 41, … (квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки, находящиеся на квадратных слоях).
· Центрированные пятиугольные числа 1, 6, 16, 31, 51, … (пятиугольник, который содержит точку в центре и все точки, окружающие центр, лежат в пятиугольных слоях).
· Центрированные шестиугольные числа 1, 7, 19, 37, 61, … (шестиугольник с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся в шестиугольной решётке).
· Центрированные семиугольные числа 1, 8, 22, 43, 71, … (семиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на семиугольных слоях)
· Центрированные восьмиугольные числа 1, 9, 25, 49, 81, … (восьмиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на восьмиугольных слоях).
· Центрированные девятиугольные числа 1, 10, 28, 55, 91, … (девятиугольник с точкой в середине и все окружающие точки лежат на девятиугольных слоях).
· Центрированные десятиугольные числа 1, 11, 31, 61, 101, … (количество точек в десятиугольнике с точкой в середине и окружающими точками, лежащими на десятиугольных слоях), и так далее.
Как видно из приведенных диаграмм, n-ое центрированное k-угольного число может быть получена размещением k копий (n?1)-х треугольных чисел вокруг центральной точки; поэтому, n-ое центрированное k-угольного числа может быть выражено как: Ck,n= kn/2(n-1)+1.
Так же, как и в случае обычных фигурных чисел, первое центрированное k-угольного число есть 1. Поэтому, для любого k, 1 является как k-угольным числом, так и центрированным k-угольным. Следующее число, являющееся как k-угольным, так и центрированным k-угольным, может быть найдено по формуле: k^2/2(k-1)+1, которая показывает, что 10 является как треугольным, так и центрированным треугольным, а 25 является как четырехугольным, так и центрированным четырехугольным. Несмотря на то, что простое число p не может быть фигурным числом (кроме p-угольного), многие центрированные многоугольные числа являются простыми.
5. Многомерные фигурные числа
Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камушков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камушек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, … Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. На сегодняшний день существует четкое понятие Многомерных фигурных чисел - это числа, которые могут быть выражены в виде равноудаленных точек в объемной многомерной фигуре. Их особенность в том, что они способны заполнять не только внешнюю фигурную оболочку, но и внутреннее пространство фигуры. Многомерные фигурные числа, как и многоугольные с полигональными, имеют тоже свои типы:
· Изоэдральные многомерные фигурные числа: Точнее сказать, все грани должны быть не просто равныеhttps://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D0%B3%D1%80%D1%83%D1%8D%D0%BD%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F), а должны быть транзитивны, то есть должны прилежать в одной и той же орбите симметрии. Изоэдральные многогранники называются изоэдрами. Они могут быть описаны их конфигурацией граней. Конфигурация граней - это сокращённое обозначение для представления вершинной фигуры многогранника или мозаики в виде последовательности граней вокруг вершины. Изоэдр может иметь как одинаковые грани, так и неодинаковые. (Приложение №1; рисунок 1)
· Элементарные многомерные фигурные числа:
1) Гиперкубические: Куб, который находится в неопределенном x-мерном пространстве, т.е. это пространство может иметь много граней, относящихся к этому кубу. (Приложение №1; рисунок 2)
2) Симплексные: Симплекс или n-угольный тетрайдер -- геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника. Простейший n-мерный многогранник с количеством вершин n?+?1 как раз и называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры:
· 0-симплекс (точка) -- 1 вершина;
· 1-симплекс (отрезок) -- 2 вершины;
· 2-симплекс (треугольник) -- 3 вершины;
· 3-симплекс (тетраэдр) -- 4 вершины. (Приложение №2)
3) Гипероктаэдрные: Гипероктамэдр -- геометрическая фигура в n-мерном пространстве, которое имеет размерность, равную 3: правильный политоп, двойственный n-мерному гиперкубу. Другие названия: кокуб, ортоплекс, кросс-политоп. Гипероктаэдр может-быть как в упрощенной, так и в усложненной форме, где в одной фигуре может находиться несколько таких же. (Приложение №3; рисунок 1)
· Трехмерные правильные фигурные числа: Трехмерный многогранник (Сокращение 3D обозначает трёхмерное пространство) - совокупность конечного числа плоских многоугольников в трехмерном пространстве, такая, что: каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого, смежного с ним и такая система является круговой, или по другому замкнутой. (Приложение №3; рисунок 2)
· Четырехмерные правильные фигурные числа: Четырёхмерное пространство (обозначения: 4D {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}) -- математический объект, обобщающий свойства трёхмерного пространства. Алгебраически четырёхмерное пространство может быть построено как множество векторов с четырьмя вещественными координатами. Геометрически в простейшем случае четырёхмерное пространство рассматривается как пространство размерности четырёх измерений. (Приложение №4; рисунок 1)
· Тетраэдрические числа -- это фигурные числа, которые представляют пирамиду, в основании которой лежит треугольник, т.е. это по сути треугольная правильная пирамида, т.к. равносторонние треугольники называются правильным. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников. Пример нескольких первых тетраэдрических чисел: 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (Приложение№4; рисунок 2)
Свойства: Тетраэдрические числа находятся на 4-й позиции в треугольнике Паскаля. Треугольник Паскаля - бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. (Приложение №5)
6. Значение фигурных чисел в нашей жизни
Значение фигурных чисел в нашей жизни во все времена было очень важным: с того момента, когда первобытные люди только начали учиться считать, и до того, как сейчас живет современное общество. Постоянно появлялись новые технологии в разных сферах деятельности: