Пористая среда имеет проницаемость 1 дарси (Д), если при однофазной фильтрации жидкости вязкостью в 1 сантипуаз (спз) при ламинарном режиме фильтрации через сечение образца площадью 1 см2, перепаде давления 1 атм, расход жидкости на 1 см длины породы составляет 1 см3/сек.
Выражение вязкости в спз имеет и физический смысл. Вязкость воды при 20о С равна 1,005 спз, т. е. ? 1спз и величину kпр.= 1,02 см2/108 назвали Дарси.
1 Д = 1,02·10-8 см2 = 1,02 · 10-12 м2 = 1,02 мкм2 ? 1 мкм2. (3.9)
Приведённые выше уравнения 3.6-3.8 справедливы при условии движения плохо сжимаемой (несжимаемой) жидкости при линейно-направленном потоке.
В случае фильтрации газа это условие не выполняется. При уменьшении давления по длине образца объёмный расход газа непостоянный. Поэтому при расчете проницаемости по газу следует учитывать средний расход газа в условиях образца, приведенный к среднему давлению и средней температуре образца, используя закон Бойля-Мариотта. Если расширение газа при линейном прохождении его через образец происходит изотермически, следует учитывать средний объёмный расход (Vср):
При Т = const, P·V = const (3.10)
Vcр· Pср = Vо · Pо = V1· P1 = V2 · P2, (3.11)
Pср = (P1 + P2)/2, (3.12)
Vcр = Vо · Pо / Pср = 2 · Vо· Pо / (P1 + P2). (3.13)
Средний объёмный расход газа будет равен изменению линейной скорости фильтрации объёма газа (Vср) за время (продолжительность) прохождения газа (t) через породу:
, (3.14)
Уравнение для количественной оценки коэффициента проницаемости горных пород при линейной фильтрации газа запишется с учетом выражений 3.7 и 3.14:
, (3.15)
Уравнения 3.6, 3.15 применимы при описании линейного, плоскопараллельного потока фильтрации жидкости и газа через породу.
При использовании решений из подземной гидромеханики для плоскорадиальной фильтрации (случай притока к скважине) имеем: при фильтрации жидкости
(3.16)
При фильтрации газа:
(3.17)
В выражениях 3.16-3.17 параметры характеризуют:
ж, г- вязкость жидкости и газа;
Qж- расход жидкости;
rн =Rк и rв=rc - наружный (радиус контура питания) и внутренний (радиус стока-скважины) радиусы кольца;
Qг - расход газа при атмосферном давлениях в образце;
Рн=Pк, Рв=Рс - давления у наружной (давление на контуре питания) и внутренней (давление на контуре стока) поверхностей кольцевого образца;
h - высоту цилиндра.
3.2.2 Классификация проницаемых пород
По величине коэффициента проницаемости (мкм2) для нефтяных месторождений выделяют 5 классов коллекторов:
1. очень хорошо проницаемые (kпр > 1);
2. хорошо проницаемые (kпр ? 0,1-1);
3. средне проницаемые (kпр ? 0,01-0,1);
4. слабопроницаемые (kпр ? 0,001-0,01);
5. плохопроницаемые (kпр < 0,001).
Классификация коллекторов газовых месторождений по величине коэффициента проницаемости включает 1-4 классы.
По характеру проницаемости (классификация Теодоровича Г.И.) различают следующие виды коллекторов: равномерно проницаемые; неравномерно проницаемые; трещиноватые.
В реальных условиях редко встречаются пласты, однородные по проницаемости на всём протяжении. Нефтяной пласт неоднороден и состоит, как правило, из продуктивных пропластков разной проницаемости. Коллекторы нефти и газа меняются по минералогическому составу, физическим свойствам по вертикали и горизонтали. Линзы песчаников, пропластки песка иногда без каких-либо закономерностей переходят в глинистые породы. Поэтому коэффициент средней проницаемости пласта () оценивается с учётом проницаемости пропластков и направления фильтрации.
3.2.3 Оценка проницаемости пласта, состоящего из нескольких продуктивных пропластков различной проницаемости
Рассмотрим случай линейно-горизонтальной фильтрации жидкости в пласте, состоящем из нескольких изолированных слоев или пропластков пористой среды (рис. 3.6), разделенных между собой бесконечно тонкими непроницаемыми перегородками, различной мощности и проницаемости.
Рис. 3.6. Линейная фильтрация в пласте, состоящем из нескольких изолированных пропластков различной мощности и проницаемости
Средняя величина коэффициента проницаемости пласта будет оцениваться с учетом мощности продуктивных пропластков, через которые идет фильтрация флюидов:
, (3.18)
где: - средняя проницаемость пласта; ki - проницаемость i-го пропластка; hi - мощность (высота) i-го пропластка.
Рассмотрим пример. Рассчитать величину среднего коэффициента проницаемости пласта, состоящего из нескольких изолированных пропластков для условий:
Дано: № уч-ка hi, м ki, мД
1 6 100
2 4,5 200
3 3 300
4 1,5 400
Найти средний коэффициент проницаемости () пласта?
Решение. = (100 · 6 + 200 · 4,5 + 300 · 3 + 400 · 1,5)/(6 + 4,5 + 3 + 1,5) = 200 (мД).
При горизонтально-линейной фильтрации жидкости через пласт, имеющий несколько параллельно последовательно расположенных изолированных зон пористой среды различной проницаемости (рис. 3.7), средняя величина коэффициента проницаемости такого пласта рассчитывается с учетом протяженности (длины) фильтрации флюидов по уравнению:
, (3.19)
где - средняя проницаемость пласта; ki - проницаемость i-го пропластка; Li - длина i-го пропластка; Lобщ = ?Li - общая длина пласта.
Рис. 3.7. Линейная фильтрация через пласт, имеющий несколько последовательно расположенных зон различной проницаемости
Рассмотрим пример. Рассчитать средний коэффициент проницаемости пласта для горизонтально-линейной фильтрации жидкости, имеющего несколько параллельно последовательно расположенных изолированных зон различной проницаемости с учетом условий:
Дано: № уч-ка Li, м ki, мД
1 75 25
2 75 50
3 150 100
4 300 200
Найти средний коэффициент проницаемости () пласта?
Решение. = (75 + 75 + 150 + 300) / (75 /25 + 75 / 50 +150/100 + 300 /200) = 600 / 7,5 = 80 (мД).
При радиальной фильтрации жидкости через пласт, имеющий несколько концентрически расположенных зон различной проницаемости (рис. 3.8), средняя величина коэффициента проницаемости пласта оценивается с учетом радиуса контура радиальной фильтрации флюидов через продуктивные пропластки по выражению:
, (3.20)
где - средняя проницаемость пласта; ki - проницаемость зон; ri - радиус i-той зоны; rc - радиус скважины; rk - радиус контура питания.
Рис. 3.8 Радиальная фильтрация через пласт, имеющий несколько концентрически расположенных зон различной проницаемости
Рассмотрим пример. Рассчитать средний коэффициент проницаемости пласта для случая радиальной фильтрации жидкости с учетом условий:
Дано: № уч-ка ri,м ki, мД
1 75 25
2 150 50
3 300 100
4 600 200
rc = 0,15 м, rk = 600 м.
Найти средний коэффициент проницаемости () пласта?
Решение. = lg (600 / 0,15)/{[lg (75 / 0,15)]/25 + [lg (150 / 75)] /50 + [lg (300 / 150)] / 100 + [lg (600 / 300)] / 200} = 30,4 (мД).
3.2.4. Зависимость проницаемости от пористости
Теоретически доказано, что для хорошо отсортированного, окатанного, однородного материала (например, кварцевый мономиктовый песок, представленный на 90 % одним минералом) проницаемость не зависит от пористости.
Для реальных коллекторов в общем случае более пористые породы являются и более проницаемыми.
Зависимость проницаемости от размера пор для фильтрации через капиллярные поры идеальной пористой среды можно оценить из соотношений законов Пуазейля и Дарси.
Уравнение Пуазейля описывает объёмную скорость течения жидкости через пористую среду, которая представляется в виде системы прямых трубок одинакового сечения длиной (L), равной длине пористой среды:
, (3.21)
где: r - радиус порового канала;
L - длина порового канала;
n - число пор, приходящихся на единицу площади фильтрации;
F - площадь фильтрации;
- вязкость жидкости;
Р - перепад давления.
Коэффициент пористости среды, через которую проходит фильтрация, можно представить следующим образом:
. (3.22)
С учетом 3.22 уравнение 3.21 можно переписать следующим образом:
(3.23)
и сравнить его с уравнением Дарси ().
Приравняв правые части уравнений, после сокращения подобных членов получим выражение для взаимосвязи проницаемости, пористости и радиуса порового канала:
. (3.24)
Выражение 3.24 используется при проведении прогнозных и модельных расчетах коэффициента проницаемости для образцов кернового материала с известной пористостью. Измерения показали, что радиусы пор, по которым в основном происходит движение жидкостей, находится в пределах от 5 до 30 мкм.
Из уравнения 3.24 следует, что радиус (размер) порового канала можно оценить:
. (3.25)
Если выразить проницаемость в мкм2, то радиус поровых каналов (в мкм) будет рассчитываться по выражению:
. (3.26)
Уравнения 3.24-3.26 характеризуют взаимосвязь между пористостью, проницаемостью и радиусом порового канала и справедливы только для идеальной пористой среды, например, для кварцевого песка.
Для реальных коллекторов оценка радиуса порового канала производится с учётом структурных особенностей порового пространства пород. Обобщенным выражением для этих целей является эмпирическое уравнение Ф.И. Котяхова:
, (3.27)
где: r - радиус пор;
- структурный коэффициент, учитывающий извилистость порового пространства.
Значение оценивают для модельных сред путём измерения электрического сопротивления пород. Для керамических, пористых сред при изменении пористости от 0,39 до 0,28, по экспериментальным данным, ? изменяется от 1,7 до 2,6. Структурный коэффициент для зернистых пород можно приблизительно оценить по эмпирической формуле:
. (3.28)
Для оценки взаимосвязи коэффициента проницаемости от радиуса порового канала при фильтрации жидкости только через каналы, капилляры (поры круглого сечения) используются соотношения уравнений Пуазейля и Дарси:
и . (3.29)
Причем, пористая среда представляет собой систему трубок. Общая площадь пор, через которые идет фильтрация флюидов, оценивается как:
F = р·r2. Величину р можно представить как > р = F/r2. Подставив эту величину в уравнение Пуазейля (1.29, левое выражение) и сократив одинаковые параметры в выражениях (1.29, левом и правом) получим корреляционную взаимосвязь между коэффициентом проницаемости породы от радиуса порового канала:
. (3.30)
Если r измеряется в [см], а коэффициент проницаемости в [Д] (1Д ? 1,02·10-8 см2 или =1,01327), то вводится соответствующий коэффициент пересчета 9,869·10-9. Тогда, коэффициент проницаемости при фильтрации жидкости через капилляр оценивается эмпирическим выражением:
kпр = r2/(8·9,869·10-9) = 12,5 · 106 ·r2. (3.31)
Оценка взаимосвязи коэффициента проницаемости от высоты поровой трещины при фильтрации жидкости только через трещиноватые поры оценивается из соотношений уравнений Букингема и Дарси.
Потеря давления при течении жидкости через щель очень малой высоты оцениваются уравнением Букингема:
, (3.32)
где: h - высота трещины;
v - линейная скорость фильтрации жидкости.
Выразив из уравнения Дарси величину перепада давления (?P = v·м·L/kпр.), приравняв правые части с 1.36 и сократив одинаковые параметры получим выражение:
. (3.33)
С учетом того, что h измеряется в [см], а коэффициент проницаемости в [Д], вводится соответствующий коэффициент пересчета = 9,869·10-9. Тогда, коэффициент проницаемости при фильтрации жидкости через трещину оценивается:
kпр = h2/(12 · 9,869·10 -9) = 84,4 · 105·h2. (3.34)
Уравнения 1.35 и 1.38 используется для теоретической оценки коэффициентов проницаемости для конкретного вида пор.
Рассмотрим пример. Через кубик породы размером 10·10·10 см, с проницаемостью 10 мД фильтруется жидкость при линейной режиме вязкостью 1 спз, при градиенте давления (?Р/?L), равном 0,25 атм/м (0,0025 атм/см). Определить дебит?
Решение. Рассмотренный случай - субкапиллярной фильтрации, то есть фильтрация равномерная и проходит через всю площадь образца, имеющего субкапиллярную пористость. Дебит (Q1)составит:
= 100 · 0,01 · (0,0025 /1) = 0,0025 см3/сек.
Если в этом кубике будет один канал диаметром 0,2 мм той же длины, что и кубик, то при том же градиенте давления дебит фильтрующейся жидкости через этот канал будет:
= 12,5 · 106· (0,02 /2)2 · р · (0,02 /2)2 · 0,00025 = 0, 001 см3 /сек
Следовательно, при наличии в кубике одного канала и субкапиллярной пористости, т. е. при наличии неравномерной фильтрации суммарный дебит (Q3) фильтрующейся жидкости составит:
Q3 = Q2 + Q1 = 0,001 + 0,0025 = 0,0035 (см3/сек).
Суммарный дебит (Q3) имеет величину на 40 % больше чем при субкапиллярной фильтрации (Q1).
Если в кубике вместо канала имеется трещина высотой 0,2 мм и шириной 10 см, ее влияние на общий дебит жидкости, фильтрующийся через породу, будет существенным:
= (84,4 ·105 · (0,02)2 · 0,02 · 10 · 0,0025) / 1 = 1,688 см3/сек.
А суммарный дебит (Q5) с учетом субкапиллярной фильтрации (Q1) составит: