Материал: Функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана

Функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана

Окрестность точки z₀ - Совокупность точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству |z-z₀|<е

Внутренняя точка множества - Точка z называется внутренней точкой множества на комплексной плоскости, если существует е - Окрестность этой точки, целиком принадлежащая данному множеству.

Областью - на комплексной плоскости называется множество D точек, обладающих следующими свойствами:

• 1)каждая точка множества D является внутренней точкой этого множества.
• 2)Любые две точки множества D можно соединить ломанной, состоящей из точек этого множества (связность).

Граничная точка - Всякая точка z области D, в любой е окружности которой содержаться как точки, принадлежащей области D, таи и точки, не принадлежащие области D.

Граница области - совокупность граничных точек области D. Обозначается дD. переменный многосвязный формула

Замкнутая область - Область D с присоединенной к ней границей дD и обозначается .

Односвязная область - Область D будет односвязной, если внутренность любого контура, принадлежащего D, также принадлежит D. Область, не являющуюся односвязной, назовем многосвязной.

Окрестность бесконечно удаленной точки - совокупность всех точек z, удовлетворяющих неравенству |z|>R (с присоединенной бесконечно удаленной точки), т.е. совокупность всех точек z, лежащих вне круга достаточно большого радиуса R с центром в начале координат.

Функция комплексной переменной - множество S комплексной плоскости z определенной функции w=f(z), если указано правило, по которому каждому комплексному числу z из S ставится в соответствие комплексное число w.

z=x+iy, w=u+iv

Однолистная функция - функция однолистная на множестве S, если в разных точках этого множества она принимает разные значения. Функция, не являющая однолистной, называется многолистной.

Многозначная функция - каждое значения z из S ставится в соответствие несколько комплексных чисел.

Предел функции - Пусть функция w=f(z) определена в некоторой окрестности точки z₀=x₀+iy₀ кроме, может быть, самой точки z₀. Комплексное число А называется пределом функции f(z) при z, стремящейся к z₀, если для любого положительного числа е можно указать д окрестность точки z₀ такую, что для всех точек z из этой д окрестности, исключая, точку z₀, соответствующие точки w=f(z) лежат в е окрестности точки А.

Непрерывность функции - Функция w=f(z) заданная на множестве S, непрерывная в точке z₀ЄS, если

Иными словами функция f(z) непрерывная в точке z₀, если для любого е>0 можно указать д=д(е)>0 такое, что для всех точек zЄS, удовлетворяющих условию |z-z₀|<д, выполняется неравенство |f(z)-f(z₀)|<е

Дифференцируемость функции - f(z) определена в некоторой точке z. Тогда f(z) дифференцируема в точке z, если существует предел

Этот предел называется производной функции f(z) в точке z₀

Условие Коши-Римана.

Дифференцируемость функции в точке z=x+iy

Пусть функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы в точке (x,y) как функции действительных переменных и в этой точке выполнены условия Коши-Римана. Тогда функция комплексного переменного f(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z=x+iy

Аналитичность функции

Функция w=f(z) называется аналитической в точке z, если она дифференцируема как в точке z, так и в некоторой её окрестности. Функция w=f(z), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической функцией в этой области.

Гармоническая функция

Функция ф(x,y) называется гармонической в области D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

Конформное отображение

Для того, чтобы отображение w=f(z) было конформно в области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области функция f(z) было однолистной и аналитической, причем для всех z из D

Линейная функция

Линейной функцией комплексного переменного z называется функция вида w=az+b где a,b -заданные комплексные числа, причем а?0. Линейная функция определена для всех значений независимого переменного z, однозначна и т.к обратная функция z=w/a-b/a Также однозначна, однолистная во всей плоскости z.

Дробно-линейная функция

Называется функция вида

a,b,c,d- заданные комплексные числа.

Причем

Степенная функция

Где n натуральное число, аналитична во всех комплексной плоскости; ее производная при n>1 j отлична от нуля во всех точках, кроме z=0.

Дробно-рациональная функция

Функция вида

Где P,Q многочлены комплексного переменного z, Дробно-рациональная функция аналитична во всей плоскости, кроме тех точек, в которых знаменатель Q обращается в нуль

Функция Жуковского

Показательная функция

Показательную функцию e^z определим для любого комплексного числа z=x+iy следующим соотношением:

При x=0 получаем формулу Эйлера:

Свойства показательной функции

• 1. Для действительных z данное определение совпадает с обычным.
• 2. Функция e^z аналитична на всей комплексной плоскости, и для нее сохраняется обычная формула дифференцирования

• 3. Для функции e^z сохраняется теорема сложения: e^z1*e^z2=e^z1+z2
• 4. Функция e^z периодическая с мнимым основным периодом 2рi

Логарифмическая функция

z=e^w

Отсюда w=e^z

w=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(argz+2рk) -логарифмическая

Lnz=ln|z|+iArgz

Lnz=lnz+i2рk

Тригонометрические и гиперболические функции

e^iy=cosy+isiny, e^-iy=cosy-isiny

Откуда

Определения интеграла комплексной функции

Если при

Существует предел суммы

Не зависящий от способа разбиения кривой на частичные дуги и от выбора точек на них, то этот предел называется интегралом от функции f(z) по кривой л

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного

z=z(t)=x(t)+iy(t)

Теорема Коши

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D, л произвольная замкнутая спрямляемая кривая, лежащая в области D. Тогда

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D, точки z₀ и z принадлежат D. Тогда функция

Аналитична в области D, и

Первообразная

Функция Ф(z) Называется первообразной функцией f(z) в области D, если в каждой точке этой области выполняется неравенство

Теорема Коши для многосвязной области

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и непрерывна в замкнутой области . Тогда интеграл от функции f(z), взятый вдоль границы дD этой области, равен нулю:

Интегральная форма Коши

Пусть функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в замкнутой области , Тогда для любой внутренней точки z области D имеет место формула

Где Г-граница области D, проходимая в положительном направлении.

Формула среднего значения

Пусть функция f(z) непрерывна в замкнутом круге и аналитична внутри этого круга. Значение функции f(z) в центре круга равно среднему её граничных значений на ограничивающей его окружности.

Существование производных всех порядков у аналитической функции

Пусть функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в замкнутой области . Тогда в каждой внутренней точке z области D у функции f(z) существует производные всех порядков и имеют место формулы

где Г граница области D, n=1,2

Ряды

Имеет конечный предел Этот предел называется суммой ряда.

Ряд сходится когда одновременно сходятся ряды

Ряд сходится абсолютно если сходится ряд из модулей.

Функциональный ряд

Функции определены на некотором множестве S комплексной плоскости, называется сходящийся в точке z этого множества, если для любого е>0 номер N такой, что для всех n?N выполняется неравенство.

|R_n(z)|<е

Где R_n(z)=

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве S, если 1) он сходится в каждой точке множества S и для всякого е>0 найдется номер N=N(е), не зависящий от z и такой, что для всех n?N и для всех z из S остатки этого ряда удовлетворяются неравенству