Материал: Функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида

Где z-независимая комплексная переменная, коэффициенты c_n - заданные комплексные числа, z₀ фиксированно.

Свойства степенных рядов

• 1. Пусть степенной ряд расходится в некоторой точке z₁. Тогда этот ряд расходится в каждой точке z, удовлетворяющей неравенству |z-z₀|>|z₁-z₀|
• 2. Для любого степенного ряда найдется число R такое, что в круге |z-z₀|0|>R расходится.

Круг сходимости

Если R>0, то наибольшей областью сходимости данного ряда является круг |z-z₀|<R В точках границы |z-z₀|=R ряд может как сходится, так и расходится. Область |z-z₀|<R, R>0 называется кругом сходимости степенного ряда; число R, называется радиусом сходимости

Радиус сходимости степенного ряда

Радиус сходимости в общем случае по формуле Кощи-Адамара

Теорема Тейлора

Пусть функция f(z) аналитична в круге |z-z₀|<R. Тогда в этом круге функция f(z) может быть представлена в виде суммы сходящегося степенного ряда

z- произвольная точка круга |z-z₀|<R, то из формулы вытекает, что построенный степенной ряд сходится к f(z) внутри этого круга.

Разложения в ряд Тейлора

Сумма степенного ряда

Аналитична в круге его сходимости, причем производная может быть получена путем почленного дифференцирования

Элементарные разложения функций

Нули аналитической функции

Пусть f(z)- аналитическая функция в области D. Тогда z₀ из D называется нулем функции f(z), если f(z₀)=0. Разложим функцию f(z) в окрестности её нуля z₀ в степенной ряд имеет вид

Т.е. с₀=0. Если наряду с с₀ равны нулю и коэффициенты c₁,c₂,…,c_k-1, а коэффициент c_k Отличен от нуля, то точка z₀ называется нулем k-го порядка. Из формулы вытекает, что нуль k-го порядка характеризуется соотношениями

В окрестности нуля k-Го порядка разложение функции f(z) в степенной ряд имеет вид

Ряды Лорана

Ряд Тейлора , понимаемый как сумма двух рядов

называется ряд Лорана

Областью сходимости ряда Тейлора является общая часть областей сходимости каждого ряда Лорана.

Область сходимости является круг |z-z₀|<R радиус которого определяется по формуле Коши-Адамара. Внутри круга сходимость ряд Тейлора сходится к аналитической функции, причем в любом круге меньшего радиуса |z-z₀|<R^/, R^/<R. Он сходится абсолютно и равномерно.

степенной ряд сходится внутри своего круга сходимости к аналитической функции комплексного переменного

причем в любом круче меньшего радиуса он сходится абсолютно и равномерно. Это означает, что областью сходимости ряда Лорана является внешность круга - Если r<R то существует общая часть области сходимости рядов Тейлора и Лорана - круговое кольцо в котором ряд Тейлора сходится к аналитической функции. При этом в любом кольце где он сходится абсолютно и равномерно.

Изолированные особые точки

Точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f(z) если существует кольцевая окрестность точки z₀ - 0<|z-z₀|<е

(это множество иногда называют проколотой окрестностью точки z₀) в которой функция f(z) однозначна и аналитична. В самой точке z₀ функция либо не определена, либо не является однозначной и аналитичной. В зависимости от поведения функции f(z) при приближении к точке z₀ различаются три типа особых точек.

Изолированная особая точка называется устранимой

1. Устранимой, если существует конечный

2. Полюсом, если

3. Существенно особой точкой, если функция f(z) не имеет предела при Тип изолированной особой точки тесно связан с характером лорановского разложения функции f(z) в круге 0<|z-z₀|<е с выколотым центром z₀

Устранимая особая точка

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) является устранимой особой точкой в том и только в том случае, когда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки z₀ не содержит главной части, т.е. имеет вид

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда функция f(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки z₀,

0<|z-z₀|<е

Полюс

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) является полюсом в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения функции f(z) в окрестности точки содержит конечное (и положительное) число отличных от нуля членов, т.е. имеет вид

Существенно особая точка

Изолированная особая точка является существенно особой в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения в проколотой окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Вычеты

Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z₀ называется число

Вычисление вычета в полюсе первого порядка

Умножим обе части этого равенства на z-z₀ переходя к пределу при z>z₀ получим

Вычисление вычета в полюсе n порядка

Вычет функции в бесконечности

Если z=? является устранимой особой точкой функции f(z), то лорановское разложение f(z) в окрестности этой точки не содержит положительных степеней z; z=? - полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z, в случае существенной особенности - бесконечное число положительных степеней z.

Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма её вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.

Вычисление интегралов с помощью вычетов