Курсовая работа (т): Гауссов пучок в свободном пространстве

Гауссов пучок в свободном пространстве

Содержание

Введение

. Гауссов пучок в свободном пространстве

. Прохождение Гауссова пучка через тонкую линзу

. Дифракция Гауссова пучка

.1 Фокусировка Гауссова пучка

.2 Размеры фокальной области линзы

Список литературы

Введение

лазер гауссовый пучок дифракция

История изобретения лазера началась с предположения. А именно: в 1916 году Альберт Энштейн создал теорию взаимодействия излучения с веществом, из которой вытекала принципиальная возможность создания квантовых усилителей и генераторов электромагнитных волн, да и Алексей Толстой, в своем знаменитом романе "Гиперболоид инженера Гарина", писал примерно об этом же.

Однако первая попытка экспериментально обнаружить индуцированное излучение была только в 1928 году, когда Ланденбург, изучая отрицательную дисперсию света, сформулировал условия обнаружения индуцированного излучения как преобладание его над поглощением (условие инверсии), отметив, что для этого необходимо специальное избирательное возбуждение квантовой системы.

До 50-х годов были только предпосылки создания лазера, пока в 1955 году ученые Николай Басов и Александр Прохоров не разработали квантовый генератор - усилитель микроволн с помощью индуцированного излучения, активной средой которого является аммиак.

Изобретение лазера, использующего аммиак, позволило американским ученым Чарльзу Таунсу и Артуру Шавлову через два года начать разработку принципов лазера. Работая параллельно в том же направлении, Александр Прохоров в 1958-м использовал для создания лазера резонатор Фабри-Перо, представляющий собой два параллельных зеркала, одно из которых полупрозрачно.

В мае 1960 г. сотрудник исследовательского центра фирмы Hughes, американский физик Теодор Мейман, основываясь на работах Н. Басова, А. Прохорова и Ч. Таунса, сконструировал первый лазер на рубине с длиной волны в 0,69 мкм. Спустя полгода в лабораториях корпорации IBM заработал инфракрасный лазер на фториде кальция с добавкой ионов урана, построенный Питером Сорокиным (Peter Sorokin) и Миреком Стивенсоном (Mirek Stevenson). Это был уникальный прибор, который действовал лишь при температуре жидкого водорода и практического значения не приобрел.

Наконец, в декабре того же года исследователи из Bell Laboratories Али Джаван (Ali Javan), Уильям Беннетт (William Bennett) и Дональд Хэрриот (Donald Herriotte) продемонстрировали первый в мире газовый лазер на смеси гелия и неона, который повсеместно применяется и в наши дни.

1. Гауссов пучок в свободном пространстве

В оптике Гауссовым пучком называется пучок электромагнитного излучения, в котором распределение электрического поля и излучения в поперечном сечении хорошо аппроксимируется функцией Гаусса. Когерентный световой пучок с гауссовым распределением поля имеет фундаментальное значение в теории волновых пучков. Этот пучок называют основной модой в отличие от других мод более высокого порядка.

Гауссовы пучки хорошо описывают моды тех резонаторов, которые образованы квадратичными, или гауссовыми элементами. К таким элементам относятся (в параксиальном приближении) линзы, сферические зеркала при нормальном и наклонном падении на них пучка, диафрагмы с плавно (по гауссову закону) меняющимся поглощением, так называемые квадратичные среды и т.п. Подавляющее большинство резонаторов именно такими элементами и образованы. К негауссовым элементам относятся диафрагмы с резкими краями, диэлектрики (в том числе активные элементы), обладающие сильными аберрациями, т. е. не квадратичной зависимостью показателя преломления от радиуса и др.

Следует отметить огромное разнообразие резонаторов, модой которых является гауссов пучок, при том, что все эти пучки являются разновидностями единственного астигматичного эрмит-гауссова пучка. Если учесть еще и простоту расчета мод, по крайней мере для резонаторов, имеющих плоскость симметрии, (правило ABCD), то становится ясно, что оптика гауссовых пучков есть незаменимое и весьма мощное средство исследования лазерных резонаторов. Даже если в резонаторе имеются негауссовы элементы, первоначальный расчет в пределах гауссовой оптики дает хорошую ориентировку для дальнейшего исследования.

Для того чтобы яснее оттенить свойства гауссова пучка, будем сравнивать его с плоской волной. Волновое движение в плоской волне описывается несколькими параметрами, такими как частота, амплитуда, направление и скорость распространения, фаза. Считается, что плоская волна занимает все пространство, следовательно, плоская волна является идеализацией, реально такие объекты не существуют. Тем не менее представление о плоской волне оказывается очень полезным. Математически плоская волна описывается простым соотношением

 (1)

где u(r,t) - величина, характеризующая волновое движение в точке r в момент времени t, например, смещение частиц среды в поверхностной или звуковой волне, одна из компонент напряженности поля в электромагнитной волне и т. п. Частота  определяет скорость изменения величины u со временем, волновой вектор k определяет скорость изменения величины u в пространстве. Направление волнового вектора определяет собой направление распространения плоской волны. С частотой и волновым вектором k связаны такие величины, как период колебаний волны Т и длина волны:

 ;

Отношение

называется фазовой скоростью распространения волны.

По поводу выражения (1) для плоской волны необходимо сделать два замечания. В природе существует много типов волнового движения: волны на поверхности жидкости, упругие волны (в частности, звук), электромагнитные волны (в частности, радиоволны, свет), в соответствии с гипотезой де Бройля можно говорить об электронных волнах и вообще о волнах вещества и т. д. Несмотря на специфику каждого типа волн, все они имеют много общих черт. Например, для всех этих волн можно ввести представление о плоских волнах (1). Правда, некоторые из этих волн могут быть многокомпонентными, т. е. волна в каждой точке описывается не одной, а несколькими величинами. Электромагнитные волны, интересующие нас в данной книге, как раз являются многокомпонентными. Они описываются в каждой точке пространства электрическим вектором (3 компоненты) и магнитным вектором (3 компоненты), всего 6 компонент. Однако электромагнитные поля, которые рассматриваются ниже, как правило, устроены так, что все их компоненты могут быть выражены через одну выделенную компоненту. Тогда достаточно рассмотреть только волну, соответствующую выделенной компоненте. Обычно в качестве выделенной компоненты используется наибольшая поперечная (по отношению к направлению распространения поля) компонента электрического поля. Здесь же отметим, что подобное однокомпонентное приближение (сведение к одной компоненте в общем случае может быть сделано лишь приближенно) является очень эффективным и позволяет описать подавляющую часть свойств лазерных резонаторов.

Второе замечание касается комплексного представления волны (1). Подобное представление или запись волновых величин широко распространено и очень удобно. Возможность такой записи основана на простом обстоятельстве, а именно, если некоторая комплексная величина удовлетворяет тому или иному линейному дифференциальному уравнению (или даже системе таких уравнений) с вещественными коэффициентами, то тому же уравнению удовлетворяют отдельно вещественная и мнимая части этой комплексной величины. Имеет место и обратное положение: если некоторые две величины удовлетворяют упомянутому выше дифференциальному уравнению, то ему же удовлетворяет и комплексная величина, в которой первые две величины являются соответственно вещественной и мнимой частями.

Разумеется, всякая физически наблюдаемая величина является вещественной. Поэтому, выполнив те или иные математические преобразования в удобной комплексной форме, для получения физически наблюдаемых величин следует переходить к вещественным величинам. Так, взяв вещественную часть и, получим

 (2)

вещественное выражение, описывающее физически наблюдаемое явление распространения плоской волны. Мнимая часть u также может быть использована в качестве вещественного выражения для волны

это выражение может быть получено и из выражения (2), если в последнем фазе ср придать новое значение, равное

В данной книге мы будем интересоваться почти исключительно монохроматическими волнами, т.е. волнами с фиксированной частотой; описывающие такие волны выражения всегда содержат множитель

Именно из-за того, что этот множитель всегда один и тот же, он может быть опущен во всех выражениях, за исключением тех, где его роль специально подчеркивается.

Так, для плоской волны получается выражение

 (3)

Если вещественную часть волны (3) умножить на или то получится

выражение, описывающее стоячую волну.

Таким образом, вычисляя вещественную часть волны (1), получаем вещественное выражение для плоской бегущей волны. Если же вычислить вещественную часть той же волны (1), но с опущенным временным множителем, и умножить эту часть на  или, то получится вещественное выражение для стоячей волны. То же правило остается справедливым и для волн более сложной конфигурации, нежели плоская волна.

Иногда амплитуду волны G посредством соотношения

переводят в показатель степени, при этом волна типа (17) принимает вид

 (4)

где a и b - некоторые функции аргументов r и t. В этом случае следует понимать, что вещественная часть показателя степени описывает амплитудное распределение волны (4), а мнимая часть того же показателя описывает зависимость фазы от г и t. В некоторых случаях показатель степени может представлять собой выражение, в котором вещественная и мнимая части не разделены, тогда для отыскания амплитудного и фазового распределений достаточно произвести такое разделение известными математическими методами.

Вернемся теперь к описанию гауссова пучка. От плоской волны он отличается прежде всего тем, что занимает не все пространство, а некоторую ограниченную его часть, основная часть гауссова пучка сосредоточена внутри фигурной трубки, образованной вращением гиперболы вокруг той ее оси, которую гипербола не пересекает (выберем эту ось в качестве оси z координатной системы) (рис. 1.1). Вдоль оси z гауссов пучок простирается от до. Поле гауссова пучка отлично от нуля как внутри трубки, так и вне ее, но вне трубки оно быстро убывает при удалении от оси пучка и становится ничтожно малым по сравнению с полем внутри трубки.

Математически гауссов пучок описывается следующими двумя эквивалентными выражениями:

 (5)

 (6)

где - расстояние от точки наблюдения в пучке до оси z и G - амплитудная константа. Этот пучок приближенно и с учетом других компонент поля удовлетворяет уравнениям Максвелла при зависимости от времени вида (в выражениях (5) и (6) эта зависимость, как условлено, опущена). Обратим внимание, что зависимость показателя экспоненты от поперечных координат квадратична. Как мы увидим далее, эта квадратичность является существенным качеством гауссова пучка. Зависимость от продольной координаты z более сложная, кроме того, от z зависит также и предэкспоненциальный множитель. В выражениях для гауссова пучка фигурирует вещественный параметр b, имеющий размерность длины и называемый параметром гауссова пучка или чаще параметром конфокальности гауссова пучка. Гауссов пучок считается заданным, если известны его параметр b и волновое число

Иногда в качестве основных используют параметры а и к, причем

 (7)

Нетрудно видеть, что второе выражение для гауссова пучка (6) отличается от первого (5) тем, что в нем в показателе экспоненты разделены вещественная и мнимая части. Это обстоятельство удобно тем, что позволяет исследовать амплитудное и фазовое распределения в гауссовом пучке и другие его характеристики. Преимущества же первой формы выяснятся позднее. Отметим, что гауссов пучок, поскольку он выражается лишь через, обладает цилиндрической симметрией.

Рассмотрим амплитудное распределение в плоскости z = 0. Из (6), опуская множитель i, получаем

 (8)

Подобная зависимость в математике хорошо известна и носит название гауссовой экспоненты. От этой зависимости произошло и название всего пучка - гауссов пучок. Как видим, параметр а характеризует поперечный размер гауссова пучка в плоскости z = 0. В точке г = а зависимость (8) имеет перегиб, т.е.

при r = a. Амплитуда гауссова пучка спадает в е раз на расстоянии  от оси пучка. Плотность энергии в пучке пропорциональна квадрату модуля u:

и, следовательно, плотность энергии пучка спадает в е раз при r = а.

Величину а обычно называют полушириной гауссова пучка в перетяжке.

 (9)

Как видим, зависимость плотности энергии от радиуса качественно такая же, как и в плоскости z=0, т. е. остается гауссовой экспонентой, однако характерный поперечный размер гауссова пучка изменился. Он стал равным

 (10)

т. е. увеличился. Очевидно, он увеличился бы и в том случае, если бы мы положили z -> -z, т.е. пошли бы влево от плоскости z = 0 (рис. 1.1). Следовательно, в плоскости z = 0 поперечный размер гауссова пучка минимален - это место пучка называется перетяжкой. Отметим, что радиус пучка и координата z связаны друг с другом, согласно (10), уравнением

 (11)

Рис. 1.1. Гиперболические каустики, ограничивающие поле гауссова пучка

Поверхность, образующаяся при вращении этой гиперболы вокруг оси симметрии (т. е. вокруг оси z) - однополостный гиперболоид вращения - называется каустической поверхностью или просто каустикой гауссова пучка. Это название пришло из геометрической оптики.

Отметим, что в продольном направлении гауссов пучок можно разбить на три части. В центральной части, при, поперечные размеры пучка сравнительно мало меняются с изменением z. В двух же периферийных частях,z > b и z < - b, поперечные размеры пучка заметно растут с ростом  и при большихпропорциональны .