Курсовая работа (т): Гауссов пучок в свободном пространстве

Зависимость плотности энергии на оси пучка от продольной координаты z определяется предэкспоненциальным множителем в (9). Легко видеть, что эта плотность в центральной части пучка () примерно постоянна, в периферийных же частях при она обратно пропорциональна.

Рассмотрим теперь фазовое распределение в гауссовом пучке, т. е. найдем фазу в различных точках, занимаемых полем гауссова пучка. Фаза как функция г и z определяется частью показателя экспоненты в (6), заключенной в круглые скобки, перед которыми стоит мнимая единица г. Из этого выражения видно, что фаза квадратичным образом зависит от расстояния г до оси z и довольно сложным образом от z. Однако эти сведения не слишком наглядны. Более интересен другой подход, при котором отыскиваются условия постоянства фазы. Приравняв константе выражение в круглых скобках в (6), приходим к уравнению, связывающему z и r, т. е. определяющему некоторую поверхность в области, занимаемой пучком. Такая поверхность называется поверхностью постоянной фазы или волновым фронтом.

Представление о волновом фронте играет важную роль как в теории волн вообще, так и в теории лазерных резонаторов - в этом мы убедимся позднее.

Представим уравнение волнового фронта в виде

 (12)

где - то значение z, при котором , т. е. координаты  являются координатами точки пересечения волнового фронта с осью z. Придавая  те или иные значения, будем получать различные волновые фронты данного гауссова пучка. Правую часть в (12) можно представить в виде

Так как угол всегда меньше своего тангенса, то вычитаемое в этом выражении меньше, чем

Но это последнее выражение значительно меньше, чем, так как (при см, см). Следовательно, вторым слагаемым в (28) всегда можно пренебречь.

Теперь из уравнения (12) видно, что разность по модулю всегда меньше или. Действительно, так как множитель

в левой части (12) всегда меньше или порядка , что следует, например, из уравнения гиперболы (11), то в целом из (12) следует, что . Полагая, вследствие этого в левой части (12), получим для волнового фронта уравнение параболы

 (13)

Таким образом, волновой фронт гауссова пучка имеет форму параболоида вращения. С хорошей точностью можно утверждать также, что этот фронт является сферическим, поскольку сфера радиуса

 (14)

и параболоид (13) практически совпадают при тех значениях r, где амплитуда пучка еще заметно отлична от нуля.

Следовательно, зависимость радиуса кривизны волнового фронта гауссова пучка от продольной координаты описывается соотношением (14) и показана на рис. 1.2, а. Кривизна волнового фронта - величина обратная радиусу кривизны - равна

и как функция показана на рис. 1.2, б.

Рис. 1.2. Зависимость радиуса кривизны R(а) и кривизны (б) от продольной координаты z

Таким образом, исследование фазового распределения позволяет описать изменение волнового фронта гауссова пучка по мере его распространения вдоль оси z от до. Сначала, по мере продвижения по оси z от волновой фронт все более искривляется вогнутой стороной в направлении распространения волны. Искривленность волнового фронта достигает максимума при после чего фронт начинает выпрямляться и становится плоским при. Далее волновой фронт снова искривляется, теперь уже выпуклостью в направлении распространения волны. Наибольшая искривленность достигается при, затем кривизна постепенно уменьшается (рис. 1.2, б).

Отметим также расположение центра кривизны волнового фронта гауссова пучка. При он находится в центре перетяжки гауссова пучка r = 0, z = 0. Затем при приближении волнового фронта к перетяжке центр кривизны смещается в положительном направлении. Когда волновой фронт находится в точке, центр кривизны находится в симметричной точке. При дальнейшем смещении волнового фронта в сторону перетяжки центр кривизны далее смещается в положительном направлении и при он уходит в.

Далее, при удалении волнового фронта в положительную сторону от перетяжки центр кривизны приходит из и при находится в симметричной точке. При центр кривизны приближается к центру перетяжки. Таким образом, при гауссов пучок представляет собой сферическую волну с центром при и.

Отметим, что как величина, так и направление фазовой скорости зависят от поперечной координаты r поля пучка. В частности, на каустике фазовая скорость поля направлена вдоль каустики и по величине равна скорости света в вакууме.

Зависимость фазы гауссова пучка от продольной координаты также представляет интерес. Напомним, что в плоской волне фаза в направлении распространения волны линейно нарастает:

в гауссовом пучке зависимость фазы от z более сложна. Полагая в выражении (6), получим

Таким образом, если в плоской волне фазовая скорость постоянная и равна скорости света в вакууме, то в гауссовом пучке фазовая скорость равна

Легко видеть, что в периферических частях гауссова пучка фазовая скорость примерно равна скорости света в вакууме, в центральной же части пучка

фазовая скорость несколько больше с (рис. 1.3). Соответственно, в центральной части гауссова пучка, на его оси расстояние между горбами волн несколько больше.

Дадим еще одну важную характеристику пучка - угол расходимости излучения при. Его определяют как угол между асимптотами гиперболы (27)

Обратимся теперь к рассмотрению первой формы гауссова пучка (5). В ней из-за неразделенности мнимой и вещественной частей показателя экспоненты характеристики как амплитудного, так и фазового распределений сосредоточены в одном параметре

 (15)

который обычно называют комплексным параметром гауссова пучка.

Рис. 1.3. Фазовая скорость поля гауссова пучка в разных точках оси z

Хотя мы также будем пользоваться этим общепринятым термином, отметим, что он не очень удачен, так как параметр q зависит от z и характеризует не пучок в целом, а лишь некоторое его сечение, правильнее было бы говорить о комплексном параметре того или иного сечения гауссова пучка. Радиус кривизны волнового фронта R и параметр, связанный с радиусом поперечного распределения амплитуды поля гауссова пучка, можно, согласно (10) и (14), выразить через параметр q

  (16)

и, следовательно,

 (17)

где величины R,  являются функциями z, т.е. характеризуют определенное поперечное сечение гауссова пучка с заданным z. Таким образом, один параметр q (правда, комплексный) заменяет собой как характеристика того или иного сечения гауссова пучка два вещественных параметра, R и .

При переходе от одного сечения к другому параметр q изменяется, как это следует из (15), по правилу

где l - расстояние, разделяющее сечения 2 и 1. Можно указать также другое, несколько более сложное, но гораздо более общее правило преобразования q при переходе от одного сечения к другому, а именно:

 (18)

где коэффициенты А, В, С и D образуют так называемую лучевую матрицу

 (19)

Соотношение (18) выражает собой широко используемое при расчете резонаторов правило (или закон) ABCD.

При распространении гауссова пучка в свободном пространстве переход от одного сечения к другому описывается лучевой матрицей

 (20)

которая является частным случаем матрицы М и называется матрицей (или оператором) трансляции и которая в соответствии с (18) приводит к правилу

.

Простота преобразования параметра q при различных трансформациях гауссова пучка оптическими системами является основной причиной его введения в теорию. Как мы увидим далее, на простых правилах преобразования гауссова пучка основан метод расчета лазерных резонаторов - так называемый матричный метод.

В данном случае матрица (20) появилась непосредственно из выражения для гауссова пучка (5). В дальнейшем будут найдены и другие лучевые матрицы, описывающие прохождение гауссова пучка через различные оптические элементы. Наиболее простой вывод лучевых матриц дает геометрическая оптика; тесная связь лучевых матриц с геометрической оптикой и породила их название.

2. Прохождение Гауссова пучка через тонкую линзу

Прежде чем рассматривать прохождение Гауссова пучка через тонкую линзу, познакомимся с важным понятием квадратичного фазового корректора. Это понятие является обобщением и идеализацией понятия тонкой линзы, оно позволяет с единой точки зрения рассматривать линзы, сферические зеркала и некоторые другие оптические элементы.

Вспомним, что падающая на линзу волна проходит в диэлектрике, образующем линзу, вблизи оси больший оптический путь, нежели на краю, и, следовательно, волна в центре линзы имеет больший набег фазы, чем на ее краю. Принимая во внимание симметрию линзы, нетрудно понять, что зависимость набега фазы от расстояния до оси линзы должна быть квадратичной. Это свойство линзы и лежит в основе определения квадратичного фазового корректора. Квадратичным фазовым корректором называется идеальный оптический элемент, который, будучи расположен на пути бегущей волны, вносит в нее дополнительный фазовый набег, квадратично зависящий от поперечных координат. Если волна бежит в положительном направлении оси z, то, проходя через квадратичный фазовый корректор, она приобретает дополнительный набег фазы, равный

 (21)

где Р - оптическая сила фазового корректора - величина, обратная его фокусному расстоянию

 (22)

Покажем теперь, что плоская волна, проходя через квадратичный корректор, превращается в сферическую волну, собирающуюся в фокусе корректора, т. е. на расстоянии F от корректора. В плоской волне, падающей слева на фазовый корректор, расположенный при z = 0, фаза не зависит от поперечных координат:

Сферическая волна, сходящаяся после фазового корректора в точке, имеет вид

Где

В параксиальном приближении, т. е. при малых r, при z = 0 (т. е. за фазовым корректором) эту волну можно представить в виде

В соответствии с определением квадратичного корректора сумма фазы волны, падающей слева на корректор, и фазы, вносимой корректором (21), должна быть равна фазе волны, уходящей справа от корректора, т. е.

Ясно, что это соотношение может быть выполнено при

И

Но последнее равенство как раз и означает, что сферическая волна соберется в фокусе фазового корректора. Таким образом, квадратичный фазовый корректор действительно ведет себя как линза.