Курсовая работа (т): Гауссов пучок в свободном пространстве

Покажем теперь, что гауссов пучок, проходя через квадратичный фазовый корректор, остается гауссовым пучком, хотя его параметры изменяются. Пусть слева на фазовый корректор, расположенный в сечении z = const, падает Гауссов пучок

где z - координата перетяжки пучка.

Справа же от корректора пусть отходит гауссов пучок

Вспоминая определение комплексного параметра гауссова пучка (15) и соотношение (16), показатели экспонент гауссовых пучков можно представить в виде

В соответствии с определением фазового корректора следует потребовать

  (23)

Первое из этих равенств имеет простой физический смысл; согласно (16), его можно представить в виде

 (24)

где и  - радиусы кривизны волновых фронтов гауссовых пучков в месте расположения фазового корректора. Это соотношение напоминает известную формулу линзы. Правда, в формуле линзы несколько иные знаки, однако это следствие того, что в ней положительные расстояния до предмета и изображения отсчитываются в разные стороны от линзы. Если эту непоследовательность в формуле линзы исправить, то она точно совпадает с соотношением (24).

Второе из равенств (23) также имеет простой смысл - размер перетяжки при прохождении фазового корректора не изменяется, что впрочем ясно и из физических соображений, поскольку толщина линзы пренебрежимо мала по сравнению с ее фокусным расстоянием.

Умножим второе из равенств (23) на r и сложим полученное соотношение с первым из равенств (23), получим соотношение

Или

Это и есть искомый закон преобразования комплексного параметра гауссова пучка при его прохождении через фазовый корректор (линзу). Этот закон можно представить в виде правила ABCD (18), если фазовому корректору (линзе) сопоставить лучевую матрицу

 (25)

которую называют оператором или матрицей прохождения гауссова пучка через линзу, и Р определено согласно (22).

Кроме равенств (23) имеет место также равенство амплитуд

 (26)

и фаз

 (27)

где z - координата квадратичного корректора.

Для того чтобы понять роль равенства (26), введем вместо амплитудного множителя G величину, которая так же, как и G, является константой.

Тогда равенство (26) примет вид

 (28)

Как нетрудно видеть, множители при и этом равенстве обратно пропорциональны поперечному радиусу пучка, который согласно второму из равенств (23) не меняется при прохождении пучка через линзу. Поэтому из (28) следует

это равенство является математическим выражением отсутствия потерь в фазовом корректоре (линзе). При отсутствии потерь и на других элементах резонатора его собственные частоты вещественны и затухания колебаний нет.

Равенство (28) говорит о том, что фаза гауссова пучка на оси пучка не изменяется при прохождении через фазовый корректор.

Если бы было необходимо учесть независимый от поперечных координат фазовый добавок, вносимый линзой, учесть, скажем, толщину линзы таким образом, то это можно было бы сделать как раз в равенстве (27).

В этом случае в его правой части появится дополнительное слагаемое. Равенство (27) важно для определения спектра лазерного резонатора.

3. Дифракция Гауссова пучка

Конкретизируем вид комплексной амплитуды пучка в плоскости z = 0. Положим

 где  (29)

 (29')

Здесь функция называется функцией Грина свободного пространства и определяется формулой

 (29'')

где. Формулы (29'), (29'') дают общее решение параболического уравнения

- оператор Лапласа по поперечным координатам пучка. Это уравнение называется параболическим уравнением.

Согласно (29) волновой фронт исходного пучка плоский, а распределение интенсивности в поперечном сечении имеет вид гауссовой кривой

 (30)

Пучок такого вида называется гауссовым. Гayccoвa модель наиболее удобна для расчетов.

Поперечный размер пучка будем характеризовать радиусом (полушириной) по уровню интенсивности, равному максимальной интенсивности. Таким образом, согласно (30), радиус исходного пучка равен

 (31)

Эта запись означает, что равен полуширине (радиусу) пучка по уровню интенсивности относительно максимума, а для сокращения использованы первые буквы английских слов "half width maximum".

Рассмотрим теперь как будет меняться пучок в процессе распространения. Для этого подставим (29'') и (29) в (29') и выполним интегрирование. Получим

. (32)

Формула (32) является основной и позволяет рассчитать характеристики пучка (волновой фронт, профиль интенсивности, радиус) в произвольной точке z. Прежде чем написать соответствующие формулы, обратим внимание на то, что в формуле (32) фигурирует характерная длина, равная . Назовем эту длину дифракционной длиной пучка и обозначим

 (33)

По принятой в оптике терминологии величину

 (34)

 (35)

называют числом Френеля.

В соответствии с (32) действительные амплитуда а и фазапучка равны

 (36)

где обозначено

  (37)

Полное электрическое поле

 (38)

Интенсивность излучения

. (39)

Формулы (38), (39) выражают основной результат данного пункта. Они описывают электрическое поле и интенсивность гауссова светового пучка в произвольной точке с координатами. Из (38), (39) следует, что в процессе распространения пучок сохраняет гауссову форму профиля интенсивности, т. е. на любых расстояниях остается "гауссовым". Радиус пучкамонотонно увеличивается с ростом z (т. е. пучок расширяется см. рис. 3.1), а интенсивность, наоборот, уменьшается, так что полная мощность пучка остается неизменной:

 (40)

Рис. 3.1 Дифракционное расплывание и трансформация волнового фронта гaycсова пучка, распространяющегося в свободном пространстве: - угол дифракционной расходимости пучка в дальней зоне,  - дифракционная длина пучка, - начальный радиус пучка, - волновое число, - длина волны

Покажем, что параметр R(z) в формулах (36) -(38) имеет смысл радиуса кривизны волнового фронта гayccoвa пучка в приосевой зоне. Для этого рассмотрим сферическую волну

 (41)

в области, где

, (42)

справедливы приближенные формулы:

 (43)

Сравнивая формулы (38) и (43) видим, что параметр R(z) в (38) имеет смысл радиуса кривизны волнового фронта. Зависимость кривизны волнового фронта от пройденного гауссовым пучком расстояния z, вычисленная по формуле (37), показана на рис. 3.2.

Рис. 3.2 Изменение кривизны волнового фронта Гayccoвa светового пучка при распространении в свободном пространстве.

3.1 Фокусировка Гауссова пучка

Действие тонкой сферической линзы на световой пучок математически можно описать с помощью комплексного коэффициента передачи , зависящего от поперечной координаты пучка. А именно, можно написать

 (44)

где и - распределения комплексных амплитуд световой волны вдоль радиуса пучка  соответственно на входной и выходной поверхностях линзы. Так как линза не изменяет распределение интенсивности, а лишь искривляет волновой фронт пучка, положим

, (45)

где - волновое число световой волны,- фокусное расстояние линзы. Формула (45) написана по аналогии с множителем, описывающим кривизну волнового фронта в формуле (38). За радиус кривизны волнового фронта пучка, вносимой линзой, естественно принять ее фокусное расстояние. Знак "+" в показателе экспоненты в (45) соответствует вогну той форме волнового фронта пучка, прошедшего линзу, т. е. описывает действие фокусирующей (выпуклой) линзы.

Пусть слева на линзу, расположенную в плоскости, падает гауссова световой пучок с плоским волновым фронтом и комплексной амплитудой, определяем ой формулой (28). Тогда в соответствии с (44), (45), комплексная амплитуда пучка на выходе из линзы будет равна

 (46)

Или

, (47)

Где

 (48)

Итак, действие линзы сводится к замене вещественного радиуса пучка на комплексную величину. Поэтому световое поле во всей зоне фокусировки. О можно определить по формулам (32), (36) -(38), сделав в них замену

, (49)

гдеопределяется формулой (48). Так, делая замену (49) в (32), для комплексной амплитуды сфокусированного пучка получаем

 (50)

Далее, подставляя (49) в (50), находим

 (51)

Где

,  (52)

И

  (53)

Как и для фундаментального гауссова пучка, электрическое поле и интенсивность излучения можно записать в виде (38), (39), однако для сфокусированного пучка параметры , ,  выражаются теперь формулами (52), (53). Итак, фокусировка гауссова пучка полностью описана. На практике удобно записывать формулу для радиуса гауссова сфокусированного пучка в виде

. (54)

Обобщение этой формулы на случай пространственно-некогерентного падающего пучка с радиусом и поперечным радиусом когерентности имеет вид

 (55)

.2 Размеры фокальной области линзы

Как видно из формулы (52), минимальный радиус сфокусированного пучка (перетяжка) достигается в точке, где

 (56)

Таким образом, точка перетяжки пучка расположена немного левее фокуса. Согласно (53), в этой же точке обращается в ноль кривизна волнового фронта пучка. В точке перетяжки радиус пучка равен

 (57)

а в точке фокуса

 (58)