Материал: Геодезия. лабораторный практикум. Акиньшин С.И

2. Средней квадратической погрешности общей арифметической

средины

.

Уравновешивание сети полигонов

методом красных чисел

Способ профессора В.В. Попова (метод красных чисел) применяется для уравновешивания как свободной, так и несвободной сети полигонов.

П ри уравновешивании нивелирной сети этот способ является строгим, т.е. дает такие результаты, как и способ наименьших квадратов. Применительно же к уравновешиванию сети теодолитных полигонов он не является строгим, поскольку при этом способе производится раздельное уравновешивание углов и приращений координат.

Ниже показана сущность метода красных чисел на примере уравновешивания свободной и несвободной нивелирной сети IV класса.

А. Свободная сеть

Рассмотрим сеть, состоящую из трех полигонов. На схему (рис. 7.2) из нивелирных журналов каждого звена наносятся все исходные данные, необходимые для уравновешивания, оценки точности и вычисления отметок узловых точек.

Исходными данными являются:

• измеренные превышения h_i по каждому звену - ходу, связывающему две соседние узловые точки (стрелками показывается направление возрастания превышений);

• длины звеньев L_i ;

• число станций n_i в каждом звене;

• отметка исходной марки.

Уравновешивание производится в следующей последовательности.

1. Прежде всего, подсчитываются невязки в превышениях по каждому полигону, соответствующие обходу полигона по направлению часовой стрелки, и их допустимые значения. Результаты этих вычислений записываются на той же схеме.

2. Убедившись в допустимости невязок, переходят к уравновешиванию сети. Для этой цели строят новый схематический чертеж более крупных размеров, на котором непосредственно производится вычисление поправок в звенья.

3 . Внутри каждого полигона (примерно в его середине) и вне полигона около его звеньев заготавливают рамочки для записи чисел (рис. 7.3). Таким образом, у внешних звеньев полигонов будет по одной рамочке, а у внутренних – по две (по одной с каждой стороны). На рамочках, расположенных в центрах полигонов, записываются номера полигонов, а внутри этих рамочек – невязки.

4. Для каждого звена полигона вычисляются красные числа k_i, k_ij (i – номер данного полигона, j – номер смежного с ним).

Красным числом называется отношение числа станций в звене к числу станций во всем полигоне (или отношение длины звена к периметру полигона).

Соответственно этому определению

,

где n_i, n_ij - число станций в звене;  n_i - число станций во всем полигоне.

Сумма красных чисел для каждого полигона должна быть равна единице.

Полученные таким путем числа записываются красным цветом над соответствующими рамочками, расположенными вне полигона около его звеньев.

5. Затем приступают к распределению невязок пропорционально красным числам соответствующих полигонов. Невязки распределяются непосредственно на схеме сети (рис. 3) введением поправок методом последовательных приближений.

Распределение невязок начинается с полигона, имеющего наибольшую по абсолютной величине невязку. Для этого определяют поправки

Поправкой называется произведение невязки в полигоне и его красных чисел.

Полученные произведения записывают во внешних к полигону рамочках под соответствующими красными числами.

Сумма полученных поправок должна быть равна распределенной невязке ( = f_i). Распределенная невязка подчеркивается.

6. Далее, по ходу часовой стрелки, переходя к следующему полигону. Значение невязки в следующем полигоне изменится на величину поправки, пришедшей из первого (предыдущего) полигона. Учтенная поправка подчеркивается.

Новая невязка распределяется пропорционально красным числам рассматриваемого полигона и полученные произведения, сумма которых также должна быть равна распределяемой невязке, записываются во внешних рамочках, под соответствующими красными числами. Распределенная невязка подчеркивается.

7. Аналогично переходят к третьему полигону, в котором будет новая невязка, равная сумме начальной невязки и поправок, пришедших из первого и второго полигонов. Учтенные поправки подчеркиваются. Полученная невязка распределяется тем же путем, как и в первых двух полигонах, и подчеркивается.

Закончив распределение невязок во всех полигонах, возвращаются к первому (начальному) полигону. Здесь появилась новая невязка, равная сумме поправок, перешедших из смежных полигонов. Эта невязка распределяется так же, как и первый раз.

8. Таким образом, закончив первый цикл (первый круг) распределения невязок, приступают ко второму, затем к третьему и так далее до тех пор, пока все невязки полигонов станут равными нулю.

Следует помнить, что во избежание повторного использования одной и той же величины в процессе распределения невязок, каждое использованное значение необходимо сразу же подчеркнуть.

9. После того как все невязки будут распределены, подсчитываются суммы чисел во всех табличках у звеньев полигонов (s_i и s_ij) .

Правильность вычисление этих сумм контролируется по формулам

где [s]_i – сумма всех чисел во внешних табличках i-го полигона.

10. Затем вычисляются поправки на звенья каждого полигона, считая направление звеньев совпадающим с направлением обхода полигона.

Если i-й полигон по рассматриваемому звену не имеет смежного, то поправка на звено _i равна сумме чисел s_i внешней таблички этого звена с обратным знаком.

Если i-й полигон по рассматриваемому звену имеет смежный с ним полигон, то поправка на звено _ij равна разности сумм чисел s_ji - s_ij внутренней и внешней табличек этого звена.

Полученные поправки записывают в скобках около соответствующих звеньев (рис. 7.3). Около внутренних звеньев сети поправки записывают по обе стороны звена (соответственно двум смежным полигонам этого звена).

В каждом полигоне сумма поправок на звенья должна быть равна невязке полигона с обратным знаком.

11. Для вычисления отметок узловых точек составляется ведомость (табл. 7.1), в которую заносятся номера точек, измеренные превышения по звеньям, поправки на звенья и отметка начальной точки (марки). Введя поправки в измеренные превышения, получают исправленные (уравновешенные) их значения, по которым вычисляются отметки узловых точек.

Таблица 7.1 – Ведомость вычисления отметок узловых точек нивелирной сети

Если требуется вычислить отметки точек, расположенных внутри какого-либо звена, то производится уравновешивание превышений в этом звене по правилу для одиночного хода.

Б. Несвободная сеть.

Уравновешивание несвободной сети (рис. 7.4) сводится к уравновешиванию свободной сети путем введения фиктивных звеньев, соединяющих исходные твердые точки (на рисунке фиктивные звенья показаны прерывистыми линиями).

В результате получаются дополнительные полигоны. Дополнительных полигонов берется для уравновешивания на единицу меньше числа твердых точек.

Фиктивные звенья намечаются так, чтобы они не пересекали действительные звенья и чтобы дополнительные полигоны имели как можно меньше действительных звеньев.

Во всех полигонах (включая и дополнительные) подсчитываются невязки, соблюдая правило о направлении обхода полигона, указанное при рассмотрении свободной сети.

С учетом этого правила в дополнительных полигонах невязка подсчитывается по формулам

где [h] – сумма измеренных превышений по ходу;

H_н и H_k – отметка начальной и конечной точек.

Проверив допустимость невязок, приступают к уравновешиванию сети, считая ее свободной, приняв длины фиктивных звеньев равными нулю. В соответствии с этим у фиктивных звеньев не будет красных чисел, а следовательно, не будет и табличек и поправок.

Выполнение работы

Выполнение работы предусматривает решение задач по вопросам занятия:

1. Решение задач по оценке точности равноточных измерений.

Задача № 7.1 Решение примера по оценке точности измерений при известном истинном значении измеряемой величины

Задача № 7.2 Решение примера по оценке точности измерений при неизвестном истинном значении измеряемой величины

Задача № 7.3 Решение примера по оценке точности функции независимо измеренных величин

2. Уравновешивание сети полигонов методом красных чисел.

Задача № 7.4 Решение примера по уравновешиванию нивелирной сети из трех полигонов

7.1. Решение задач по оценке точности равноточных измерений Задача № 7.1. Решение примера по оценки точности измерений при известном истинном значении измеряемой величины

Определить среднее квадратическое отклонение и относительную погрешность результатов измерения длин мерной лентой, если результаты шести измерений следующие:

l₁ = 100,01 м; l₃ = 100,04 м; l₅ = 99,99 м;

l₂ = 100,02 м; l₄ = 99,98 м; l₆ = 99,97 м,

а истинное значение длины линии – L = 100 м .

Решение

1. Абсолютные погрешности результатов отдельных измерений

.

₁ = + 0,01; ₂ = + 0,02; ₃ = + 0,04;

₄ = - 0,02; ₅ = - 0,01; ₆ = - 0,03.

2. Средняя квадратическая погрешность результатов измерений

.

.

3. Относительная погрешность результатов измерений

.

Задача № 7.2. Решение примера по оценки точности измерений при неизвестном истинном значении измеряемой величины

Оценить точность измерений длины линии, результаты которых приведены в задаче № 1, если ее истинное значение неизвестно.

Решение.

1. Арифметическая средина результатов измерений

.