Документ: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов, страницы 391-395


Следовательно,		угловая скорость линейки вокруг				мгновенного центра		скорос
тей равна	угловой	скорости	кривошипа вокруг оси О. Для определения					кинети
ческой энергии линейки нам надо				знать	угловую скорость		линейки вокруг оси,
проходящей перпендикулярно			к плоскости движения в центре				масс. Напомним, что
угловая	скорость	не зависит от		выбора	полюса,	а потому искомая		угловая

скорость равна найденной угловой скорости относительно мгновенного центра скоростей.

Чтобы определить скорости точек А и В линейки, надо умножить угловую скорость линейки на расстояние этих точек от мгно венного центра скоростей. Если обозначим через ф угол поворота кривошипа, то

vA = со 21 cos ф, vg = со 21 sin ср.

Кинетическую энергию кривошипа опреде лим по формуле (216) как энергию вращающе гося тела:

т	Pl*	со'	Р/2	со2	Рис. 208
		~2

Кинетическую энергию линейки определим по формуле (217) Кёнига:

1 л —	2Р	со2 /2		, 2Р (2/)2	со*	4Р/2 со2
1 л —	g	2	і	g 12	~2	3g •
			і

Кинетическую энергию поступательно движущихся ползунов определим по (215):

Q

ыЧГ2 cos2 ф

2Q/2 w2

cos2

ф

2 я

2Q/2co2 sin2

ф

=

Е

Кинетическая

энергия

механизма

равна

арифметической

сумме

кинетических

энергий

его звеньев:

•Тл +

Тв+Т,-

к р

О т в е т .

(1.5P + 2Q)

Рсо2

Задача

№

153.

Определить

кинетическую

энергию планетарного механизма

(рис.

209). Рукоятка

Ох03

массы

m и длины

Аг вращается с угловой

скоростью ш

вокруг

неподвижной

оси Оъ

проходящей

через

центр

неподвижного

зубчатого

колеса

/ . На ру

коятке

свободно насажены

два

зубчатых

колеса

радиуса

г и массы m

каждый.

Решение.

Система

состоит

из

рукоятки

и

двух

зубчатых колес

( / /

и

/ / / ) .

Кинетическая

энергия системы равна сумме кинетических

энергий этих тел. Кинетическую энергию ру

коятки

определим

по (216),

приняв

рукоятку

за однородный

стержень:

Ti--

Jco2

m (4/-)3

(0"

~2~

Кинетическую

энергию

среднего

колеса

определим по формуле (217) Кёнига,

считая

зубчатое колесо

круглым

диском. Скорость центра 02

диска

/ /

v02

=

a2r,

потому

что эта точка

принадлежит и рукоятке,

вращающейся

вокруг

О х . Мгновен

ный

центр

скоростей

этого

диска

находится

в точке

касания

его с

неподвижным

Ч

зубчатым колесом / . Угловую скорость среднего

диска найдем,

поделив

v 0

i на

расстояние

от

0 2

до мгновенного

центра

скоростей:

со, =

г

=

2со.

Тогда

1

_

m4r2 co2 . mr2

4со2

„ „ „

Г„ =

л

—

^-==3/я/-со2 .

Эту

же величину

можно

определить

по (216'),

считая,

что колесо

вращается

вокруг

мгновенного

центра

скоростей;

в

таком

случае момент

инерции

колеса

относительно

оси

вращения

надо

подсчитать

по

теореме

о

параллельных

осях

' тг2

3

\

3

—^--\-mr2

—-^

mr2 \ . Умножив

затем

- у ^ г 2 на квадрат

угловой скорости

(2<о)2

и поделив на 2, получим

Т2.

Чтобы определить угловую скорость крайнего колеса, найдем скорость точки

касания его со средним колесом. Скорости

точек

среднего

колеса

определим

как

вращательные

вокруг мгновенного

центра

скоростей. Таким

образом, точка

каса

ния обоих

подвижных колес движется со скоростью со22л = 4сог, равной скорости 0 3 ,

откуда угловая скорость крайнего колеса

со3

= 0,

следовательно,

крайнее

колесо

совершает

поступательное

движение.

Кинетическая

энергия

крайнего зубчатого колеса

„

m (to4/-)2

3

2

Кинетическая

энергия

всего

механизма

равна

сумме

кинетических

энергий

его звеньев.

О т в е т . Г = ^ у + 3 + 8^ mr 2 co 2 = y m r 2 c o 2 .

§

47. РАБОТА СИЛЫ. МОЩНОСТЬ СИЛЫ

Понятие работы. Энергия может перехо-

«Работа — это

изменение

дить из одного вида в другие. Например,

формы движения, рассматри-

потенциальная

энергия

воды,

поднятой

ваемое

с его количественной

„

г

стороны»

(Энгельс)1

плотиной

на гидроэлектростанции,

перехо

дит в кинетическую энергию вращающихся

турбин, которая в свою очередь превращается в электрическую энер гию, по проводам передается на большие расстояния, чтобы опять перейти в кинетическую энергию станков, в тепловую энергию

электропечей, в	световую, в звуковую и в прочие	виды	энергии.
При всех этих	явлениях исчезает (или возникает)	такое	же коли

чество каждого вида энергии, сколько возникает (или исчезает) энергии всех прочих видов. Это изменение энергии, изменение формы движения, рассматриваемое с количественной стороны, Энгельс на зывает работой.

Из множества различных видов движения в теоретической меха нике интересуются только механическим движением. Переход механи

ческого		движения	в	нёмеханическое	или же, наоборот,	немеханичес
кого	в	механическое		происходит на	протяжении некоторого пути и
1	К. М а р к с и		Ф.	Э н г е л ь с . Соч., т. 20. Госполитиздат,		1961, стр. 419.

366

зависит	от	действующих		сил. Поэтому понятие работы в					механике
связано	с	понятиями	перемещения и		силы.
Работу постоянной силы при				Работа постоянной силы при прямолиней
				ном движении. Знакомство с понятием						ра
прямолинейном движении вы				боты силы в механике начнем с частного
ражают	произведением		мо
дуля силы на величину пере				случая —	работы	постоянной			силы	при
мещения	материальной час			прямолинейном движении точки ее прило
тицы и на косинус угла меж				жения.
ду направлением силы и пе				Пусть	к некоторой		материальной			ча
ремещением! Л = Fs cos			а
				стице приложена		сила	F, постоянная			по

величине и по направлению. Пусть					точка	приложения		силы пере
местилась на прямолинейный отрезок s . В таком случае								произведение
				A=*Fscosa					(218)
выражает работу постоянной силы F при прямолинейном									движении

и характеризует механическое воздействие на материальную частицу

со стороны	других материальных объектов на данном пути.
Работа1	является скалярной величиной, она не имеет направления
и вполне	характеризуется величиной и знаком. В формуле (218)

модуль силы F и длина пути s всегда положительны. Знак « + » или «—» определяются знаком косинуса угла а между направлением силы и перемещения или, так как при прямолинейном движении точки перемещение совпадает с направлением скорости у, косинусом угла между направлением силы и скорости. Работа положительна, если

угол (Fv) острый, и отрицательна, если он тупой. Если направление F

А. У\

совпадает с направлением перемещения, то угол (Fv) = 0, cos (Fv) = 1 и

A^Fs.

Если же сила направлена противоположно перемещению, то (ft>) = 180°, cos (Ft!) = — 1 и

			A^—Fs.
Сила,	перпендикулярная		к	перемещению,		работы	не совершает,
так как	cos 90° = 0.
Определим		размерность	работы.		В физической системе			единиц
		l	^	= L ' № T - '
Единицей работы в СИ является джоуль* — работа силы в 1 ньютон,
действующей по направлению перемещения на						пути в	1 метр	(1 дж~
= 1 н-м = 1		кг-мг-сек~2).
Размерность		работы в технической			системе	единиц

[Aj^UF1!0.

1

3

Термин «работа» введен в науку Кориолисом и одновременно Понселе в 1829 г. Принято на П-м Международном конгрессе электриков в 1889 г.

Если

сила

выражена

в кГ, а длина —в м,

то единицей

работы

является

1

килограммометр1.

Размерности

работы и кинетической

энергии

одинаковы.

„

Элементарная

работа

силы. В

общем слу-

Элементарнои

работой

силы

ч а е - е с

r

„

или

J

называют

работу

силы на

л и

с и л а

переменна

движение

столь

малом

перемещении

точки

приложения

силы

криволинейное,

точки

ее

приложения,

при

определять работу

силы

по (218)

нельзя,

котором изменением

силы

т_[0 ) разбив мысленно весь путь на такие

можно

пренег^ечь:

маленькие участки, которые можно считать

dA = F cos (Fv)ds

прямолинейными и на которых можно пре

небречь изменением

величины и направления силы, мы определим на

каждом из этих участков

работу,

называемую

элементарной

работой

силы:

dA=Fcos(Fv)ds.

(219)

В этом равенстве ds выражает длину

элементарного перемещения

и является величиной всегда положительной.

Зная работу силы (219) на отдельных элементах пути, можно

определить

работу

на конечном участке. Докажем некоторые

теоремы

о работе

силы.

Теорема об элементарной работе равнодей-

Элементарная

работа

равно-

ств\ющей. Пусть к точке О приложен пучок

^ Г р Т ы х

S

T « Г а в !

с и л Ч

F „ ... ,

Fa.

Обозначим

равнодейст-

ляющих:

вующую

этого

пучка

F. Спроецируем все

dA = y\dAk

сялы

пучка и равнодействующую

на нап-

равление

скорости

точки

О и

приравняем

проекцию

равнодействующей сумме

проекций

составляющих:

F cos (Fv) = Fx cos ( / > ) + F2 cos (F^v) + ... + Fn cos (/=>)•

Умножив теперь каждый член этого равенства на длину ds эле ментарного перемещения точки приложения сил, найдем, что элемен тарная работа равнодействующей равна сумме элементарных работ составляющих:

/Ч

/\

/Ч

'Ч

F cos (Fv)ds

= Ft

cos (FjV)ds + F 2

cos (F2v)ds

+ ... + Fn cos

(Fnv)ds,

или

dA=%dAk.

(220)

Под суммой следует

понимать,

конечно,

алгебраическую

сумму,

потому что работа

не имеет

направления, но имеет знак.

Выражение элементарной работы через про-

Элементарная работа

силы

е к

ц и

и

с и

л ы

н а о с и

координат.

Разложим

связана с проекциями силы на

С И Л У

г,

г

коррди-

оси координат соотношением:

F

н

а

составляющие ПО осям

dA = Xdx+Yd

+Zdz

нат и определим элементарную работу

силы

~г

у г

п о

С

у

М м е

работ ее составляющих.

Пусть

составляющие

силы

направлены

в положительном направлении

осей

1 Эта единица предложена Понселе в 1829 г., но Д . С. Чижов еще в 1823 г. измерял действие машин в «динамических единицах», равных 1 кГ-м.

координат. Тогда углы между составляющими силы и скоростью являются углами между скоростью и положительными направлениями осей координат, а их косинусы определяются формулами (62) на правляющих косинусов скорости. В таком случае имеем

dA — F cos (Fv)ds = X cos avds + Y cos $vds + Z cos yvds,

или, подставляя значения направляющих косинусов,
dA^X^ds	+	vfds+Z^ds;
сокращая на ds, получаем окончательно
dA = Xdx+Y		dy + Zdz.	(221)
Формула (221) имеет очень большое значение в динамике. При
выводе этой формулы мы считали X, Y и Z направленными			поло
жительно по осям координат.	Если	какие-либо из составляющих

силы направлены в противоположные стороны, то иным станет знак соответствующего косинуса. Поэтому в (221) X, Y и Z являются не модулями составляющих, а проекциями силы на оси координат,

т.е. определяются			не только	величиной,		но и знаком. Кроме того,
в отличие от (219), где всегда ds>0,					в	(221) величины dx, dy и dz
являются	дифференциалами			координат		точки приложения	силы и
могут быть как положительными, так и отрицательными.
Заметим,		что	в общем	случае	дифференциальный		трехчлен
X dx + Y dy + Z dz			не является полным дифференциалом и обозначе
ние элементарной			работы dA	не следует		понимать как полный диф
ференциал	от	А.

Работу силы на данном пути выражают пределом суммы всех элементарных работ си лы на элементарных переме щениях, из абсолютных ве личин которых составляется

данный путь:

А--= ^ (Xdx + Ydy + Zdz)

Работа силы на данном пути. Возьмем какие-либо два положения Мх и М2 точки на ее криволинейной траектории. Работа А силы F на конечном перемещении МХМ% выразится суммой элементарных работ силы F на всех элементарных перемеще ниях, на которые разбит конечный участок пути МХМ2.

м,мг	Эта сумма			состоит	из бесчисленного	мно
	жества бесконечно малых слагаемых. Такую
сумму называют криволинейным			интегралом,		взятым по дуге М-^М^,
и обозначают так:
	А =	\	F cos (Fv)ds			(222)
		м,м2
или, если воспользоваться		выражением элементарной работы				через
проекции силы на оси координат,
А=	J	(Xdx+Y		dy + Zdz).		(222')

Если на точку действуют несколько сил, то, очевидно, работа равнодействующей на конечном участке пути равна сумме работ составляющих на том же участке пути.

Материал: Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

Смотрите также: