3
ИМПЛИЦИТНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ В ТЕОРИИ ИСТИНЫ И В МАТЕМАТИКЕ
А.В. Хлебалин
Показано, что обоснование принятия принципа рефлексии в случае теории истины и использование автономной прогрессии в случае выявления имплицитных допущений при принятии математической теории свидетельствуют в пользу возможности экспликации логико-синтаксическими средствами семантических по содержанию концепций истины и имплицитных допущений принятия математических теорий. Это является весомым аргументом в пользу как дефляционной концепции истины, так и утверждения о возможности экспликации семантического содержания формальноматематических концепций синтаксическими средствами теории.
Ключевые слова: имплицитные допущения, теория истины, принцип рефлексии.
Aleksandr V. Khlebalin, Institute of Philosophy and Law of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk State University (Novosibirsk, Russian Federation).
Keywords: implicit commitment; reflection principle; truth theory.
The restrictive results of Kurt Gцdel and Alfred Tarski are often interpreted as a final demonstration for the impossibility of expressing the semantic characteristics of a theory by syntactic means. At the same time, the seemingly unshakable results have undergone significant revisions in recent decades. For example, the desire to overcome the hierarchical approach to the truth definition gave rise to the rapidly developing direction of creating untyped truth theories, going back to Saul Kripke. The article offers an analysis for the possibility of expressing, by syntactic means, the semantic characteristics of a theory applied to the problem of implicit commitments arising from the adoption of a mathematical theory and the axiomatic truth theory. The very problem of identifying implicit commitments, both in the case of adopting a mathematical theory, and in the case of adopting the truth theory, is far from its final resolution. The article shows that the rationale for adopting the principle of reflection in the case of the truth theory and the application of an autonomous progression in the case of implicit commitments for a mathematical theory adopting shows that modern philosophical logic is able to offer logical-syntactic tools for explication of semantic concepts of truth and implicit commitment for adopting a mathematical theory. This is a serious argument both in favor of the deflationary concept of truth, which interprets the latter as an exclusively logical-mathematical concept, and in favor of the statement that the semantic content of formal-mathematical concepts can be explicated by syntactic means.
прогрессия допущение истина математическая рефлексия
Ставшие классическими для современной философской логики ограничительные результаты К. Геделя и А. Тарского зачастую трактуются, среди прочего, как окончательная демонстрация невозможности выражения семантических характеристик теории синтаксическими средствами. Вместе с тем казавшиеся прежде незыблемыми результаты в последние десятилетия подвергаются значительной ревизии. Так, стремление преодолеть иерархический подход А. Тарского к определению понятия истины породило весьма широкое и бурно развивающееся направление безтиповых теорий истины, пионером которого можно считать С. Крипке. Ниже мы предлагаем анализ возможности выражения синтаксическими средствами семантических характеристик теории применительно к проблеме выявления имплицитно принимаемых обязательств, возникающих в результате принятия математической теории и аксиоматической теории истины.
Принятие системы Sможет предполагать, что некоторые компоненты процесса обоснования не выразимы и даже не формализуемы в самом языке S, т.е. являются имплицитными. Суть понятия «имплицитные обязательства» заключается в том, что принятием теории Sмы обязываемся к принятию набора формальных или квазиформальных утверждений, которые невыразимы или недоказуемы в самой S.Разработка концепции имплицитных обязательств восходит к 50-60-м гг. ХХ в., и одним из классических прояснений ее назначения является утверждение С. Фефермана: «До какой степени содержание математической мысли может быть проанализировано в формальных терминах? Теоремы Геделя показывают неадекватность единственной формальной системы для этого, за исключением ограниченных частей математики. Несмотря на это, в то же самое время они указывают на возможность систематического производства все больших и больших систем, чья приемлемость имплицитно содержится в исходной теории. Средством для этого является то, что стало известно под названием принципы рефлексии» [1. P. 1].
Исходная постановка проблемы имплицитных допущений С. Феферма- ном была тесно связана с его программой оснований математики. Избегая этой связи с целью представить имплицитные допущения как более общую проблему, примем ее следующую формулировку: принятие формальной системы Sобязывает к принятию дополнительных ресурсов, недоступных в самой исходной системе S. Необходимо отметить многообразие трактовок того, что следует понимать под «дополнительными ресурсами», к принятию которых нас обязывает принятие формальной системы. Некоторые, вслед за С. Феферманом, имеют в виду концептуальные ресурсы, которые недоступны непосредственно в Sв силу «геделевского феномена», такие, например, как принцип рефлексии или утверждение о непротиворечивости. Им противостоит точка зрения, согласно которой, чем бы ни являлись те ресурсы, к принятию которых нас обязывает принятие S, они должны быть выразимы в языке самой исходной системы S[2]. Наиболее распространенная точка зрения связана с тем, что прояснение имплицитного принимаемых дополнительных ресурсов должно быть в явном виде связано с обращением к содержанию понятия истины [3, 4].
Обоснованность принятия принципа рефлексии оказывается одним из ключевых аспектов как в обсуждении имплицитных допущений принятия формальной системы, так и в определении того, каким содержанием обладает понятие истины. Наиболее популярная в последние десятилетия дефляционная концепция истины, согласно которой это понятие не имеет никакого семантического и метафизического содержания, а является исключительно логико-математическим по своей природе, столкнулась с серьезными возражениями в связи с обоснованностью одной из наиболее популярных своих формулировок - дисквотационной теорией истины, согласно которой единственная функция этого понятия - это функция раскавычивания. Классическойформулировкой дисквотационной концепции истины является известная теория ТВ, которая включает в себя все аксиомы РАТ, т.е. арифметики Пеа- но, сформулированной в языке LT, в том числе все примеры схемы индукции с предикатом истины. Возражения против дисквотационной концепции истины указывают на то, что, во-первых, композиционный характер истины не выражен аксиомами дисквотационной теории, а во-вторых, что дисквотаци- онная концепция не выражает в полной мере ту роль, которую понятие истины играет в математических и метаматематических рассуждениях [4, 5]. Если композиционная теория истины способна обосновать использование принципа рефлексии, то дисквотационная слишком слаба для этой цели.
Сформулируем более строго концепции, к которым нам далее придется обращаться. Прежде всего, это касается принципа рефлексии. Необходимо различать следующие его формулировки [6. Ch. 22]:
Локальный принцип рефлексии (Rfh^) представляет собой схематичный принцип формы РгоУї(ф) ^ (ф), где ф пробегает по предложениям некоторого языка L, Sявляется теорией, сформулированной на языке L, а Prov^ - канонический предикат доказуемости для S.
Единообразный принцип рефлексии (RFN,) представляет собой схематичный принцип формы Vx: РшуХф(х)) ^ (ф), где ф(х) пробегает по формулам с одной переменной некоторого языка.
Глобальный принцип рефлексии (GRP,) является аксиомой формы Уф є L:Prov,^) ^ Тф.
Наконец, принцип рефлексии выражает одно из основных свойств понятия истины, его своего рода распределенность по логическим символам:
Уф, ф є Lpa: Т(ф л ф) ^ [Т(ф) л Т(ф)].
Интересующая нас проблема возникает в следующей связи. Наиболее простым выражением дефляционной концепции истины является дисквота- ционная теория. Утверждение, что единственной функцией понятия истины, ясно представленной в концепции А. Тарского, высказывалось множество раз. Один из наиболее известных его защитников, У. Куайн, пишет: «Предикат истины является инструментом раскавычивания. Мы можем согласиться с единичным предложением, повторив его, обойдясь без помощи кавычек или предиката истины; но если мы хотим утверждать некоторое бесконечное множество предложений, которое мы можем разграничивать только говоря о предложениях, тогда начинается использование предиката истины» [7. P. 307].
Теория ТВ не влечет композициональный принцип: дисквотационная теория имеет дело с конечным количеством Т-предложений, тогда как компо- зициональный принцип относится к бесконечному множеству предложений. Более того, как указывают С. Шапиро и Дж. Кетланд, в случае достаточно сильной исходной теории Sмы рассчитываем, что теория истины позволит доказать Геделево предложение Gsтеории Sи локальный принцип рефлексии (Rfn,). Если мы берем в качестве исходной теории Арифметику Пеано, от ТВ мы ожидаем возможности доказать GPAи RfnPA. Но этого не произойдет по причине консервативности теории ТВ по отношению к исходной РА. Фактически это служит основанием для предпочтения композициональной теории СТ, включающей в принцип композициональной в качестве аксиомы. СТ не консервативна по отношению к РА и в ней может быть доказан глобальный принцип рефлексии (GRPj^), а на его основе и доказуемых в СТ Т-предло- жений РА может быть доказан локальный принцип рефлексии Rfn^, недоказуемый в исходной теории РА.
Пока мы имели дело с типовыми теориями истины. Данный тип теорий истины является наиболее распространенным, и не в последнюю очередь в силу влияния традиции. А. Тарский положил начало типовому подходу в теориях истины. Выделение типов языков - языка-объекта и метаязыка - рассматривается в его семантической теории как средство предотвращения парадоксов. Это решение становится попросту магистральным для современной логики. В подходе А. Тарского язык можно уподобить тому, сто в современной теории называется дедуктивно системой или теорией; в сематической теории аксиомы и правила языка-объекта не важны, принципиальную роль играют аксиомы и правила метаязыка. Например, в типовых теориях ТС и СТ языком-объектом является язык Lарифметики с ассоциированной системой РА, а метаязыком - тот же самый язык, расширенный единственно добавлением предикатного символа Т для предиката истины. В любом случае объектная теория - это подтеория метатеории, сформулированной в языке LT. Тем самым задается иерархия теорий, в которой теория RTYявляется метаязыком для RT<Y.
Как таковой, типовой подход не обязан своим возникновением ни А. Тарскому, ни парадоксу Лжеца; он уже был хорошо известен до появления семантической теории истины и применялся ко множествам, универсалиям и понятиям. А. Тарский распространяет этот подход на проблему определения предиката истины. В общем виде, не ограничиваясь только теорией А. Тарского, можно сказать, что типовой подход заключается в наложении синтаксических ограничений на выражения языка: термины языка разделяются на типы и применение предиката истины ограничивается определенным типом. Ограничения на применение предиката истины могут получить разные выражения, например через кодировку формул натуральными числами, когда кодируются только предложения L, не содержащие предикат истины. Типовой подход применим как к семантическим, так и к синтаксическим теориям истины. В случае языка, содержащего типы переменных и ограничения на формулировку формул, мы можем либо задать семантику, либо сформулировать аксиомы для этого языка. В первом случае получим семантическую теорию с синтаксическими типами, а во втором - аксиоматическую теорию с синтаксическими типами. И наоборот, возьмем язык LTбез каких-либо синтаксических ограничений и зададим для него в первом случае - семантику, а во втором - аксиоматическую систему в языке, представляющие его типовую структуру. В последнем случае мы получим семантически типовую аксиоматическую теорию истины. Очевидно, что синтаксический типовой подход одинаково возможен, хотя и влечет нотационные сложности.
В случае семантических теорий истины различение типовых и бестипо- вых теорий не вызывает особых трудностей: модель для языка Ltс предикатом истины будет типовой, если ни один номер предложения, содержащего предикат истины, не окажется в объеме предиката истины. В ином случае это будет бестиповая модель. В случае различения типовых и бестиповых аксиоматических теорий возникают определенные сложности, связанные с необходимостью предварительно прояснить, что вообще считается теорией истины, для какого рода теорий они строятся и т.п. Здесь будет достаточно весьма общего (двойного) критерия различения типовых и бестиповых аксиоматических теорий истины, предложенного В. Хэлбахом [6]. Аксиоматическая теория истины является типовой, если выполнен по крайней мере один из указанных критериев:
(a) Теория доказывает, что только L-предложения истинны (или, возможно, что предложения с предикатом истины ложны);
(b) Теория не накладывает никаких ограничений на истинность предложений с предикатом истины.
Возражения против типовых теорий могут быть связаны с тем, что бес- типовые теории в большей степени позволяют выразить обобщающую функцию понятия истины: например, если мы хотим утверждать об истинности всех тавтологий теории, предполагается, что это будет и о тех тавтологиях, которые содержат в себе предикат истины. Естественно, типовые теории предполагают исключение последних из их числа. Так, С. Феферман [1] построил бестиповую теорию KF(теория Фефермана-Крипке) и ее теоретикодоказательный анализ в терминах бесконечных конъюнкций показал, что типовая теория, например СТ, может доказать лишь небольшой фрагмент из доказуемого в KF. Вся проблематика, связанная с обязательствами принятия принципа рефлексии для теории истины, рассмотренная в связи с типовыми теориями (ТВ и СТ), сохраняется и в случае бестиповых теорий, в частности в связи с бестиповой теорией композициональной истины Фефермана - Крипке (KF). Таким образом, вопрос о необходимости или допустимости признания принципа рефлексии с принятием теории истины оказывается общим для всех подходов к построению теории истины.
Обсуждение возможности и даже допустимости принятия принципа рефлексии как следствия принятия определенной теории истины породило различные позиции. Так, Н. Теннант настаивает на том, что не требуется вообще никаких дополнительных обоснований для принятия принципа рефлексии: «Никакого дополнительного обоснования не требуется для новых обязательств, порождаемых выражением наших более ранних обязательств. Как только мы допустили процесс рефлексии и выразили это через принцип рефлексии, мы уже тем самым получили объяснение того, почему принятие теории Sобязывает нас принимать все случаи принципа рефлексии» [2. Р. 92]. Фактически Н. Теннант утверждает простое постулирование принципа рефлексии. Этой точки зрения противостоит позиция Дж. Кетланда, согласно которой принятие принципа рефлексии заключается в осознании истинности каждой теоремы РА и выражается заключением «я готов признать каждую теорему РА». Он оспаривает тот факт, что локальный принцип рефлексии адекватно выражает это: «Нужно заметить, что это не стандартное утверждение. Обычно схема рефлексии вроде RfnPAвыражает обоснованность РА: чтобы ни доказывалось в РА, является истинным. И быть истинным - не то же самое, что быть принятым». [5. P. 430]. Эти две крайние позиции опосредуются промежуточной, сформулированной Ц. Цислинским [3], демонстрирующим возможность обоснования признания принципа рефлексии в результате перехода от СТ- (композициональной теории истины, аксиома индукции которой не содержит предикат истины) к СТ. В этом противостоянии различных точек зрения на обоснованности принятия обязательств по отношению к принципу рефлексии нам кажется продуктивным подход, предложенный Л. Хорстеном и Г. Лэйом [8]. В его рамках обязательство принятия принципа рефлексии проистекает из нашей веры в арифметику, базовые законы логики и исходный набор непроблематичных Т-предложений: «...это очевидно из того, как мы обращаемся с тем, что утверждается базовой арифметикой и базовой дисквотационной теорией истины. Т ак же как наши данные восприятия интегрированы в нашу систему вер, наши доказательства в арифметике интегрированы в нашу систему вер. ...Аналогично и наши рассуждения в рамках дисквотационной теории интегрированы в нашу общую систему вер». [Ibid. P. 19-20]. Принцип рефлексии выражает нашу веру в теорию; как показывает В. Хэлбах, наше принятие дисквотационной теории истины выражается универсальным принципом рефлексии для ТВ [9. P. 1963]. Мы можем, хотя и вовсе не обязаны, рассуждать о нашем принятии арифметики или теории истины, и в случае, если мы обратимся к этому, наша вера в принимаемую теориюбудет выражена посредством принципа рефлексии. И в этом случае исходная теория будет расширена, и вера в эту расширенную теорию будет имплицитно содержаться в расширенной теории. Итерация может быть, естественно, продолжена.