Аналогичную ситуацию с выявлением имплицитных допущений принимаемой теорией мы наблюдаем и в случае математической теории, а не только применительно к теории истины. Здесь центральной выступает концепция автономной прогрессии теории, разработанная Г. Крайзелем и С. Феферма- ном. Оно происходит из следующего вопроса: что имплицитно содержится в принятии определенной математической теории, что мы должны принять в качестве обязательств в случае согласия с теорией? Это говорит нам, в свою очередь, что мы можем обоснованно принять, обоснованно принимая исходную теорию.
Мы признаем математическую систему, если верим, что эта теория обладает определенными желательными или необходимыми, в свете наших задач и интересов, свойствами. Очевидно, что если теория противоречива, то мы не принимаем ее; вместе с тем, признавая теорию, мы признаем ее непротиворечивость. Или же, например, можно утверждать, что, признавая систему, мы признаем ее обоснованность, а тем самым та или иная форма принципа рефлексии будет имплицитно приниматься нами в результате признания системы. Но теорема К. Геделя говорит нам, что ни доказательство противоречивости, ни принцип рефлексии для теории Sне могут быть получены в самой
S.Таким образом, согласно такому пониманию «признания системы» мы имплицитно, вместе с системой, принимаем что-то выходящее за ее пределы. Как указывает С. Феферман: «Теорема Геделя указывает на возможность систематически производить все большие и большие системы, чье принятие подразумевается принятием исходной системы» [1. P. 2]. Автономная прогрессия является наиболее естественной формулировкой такого систематического порождения для любой трактовки «принятия системы».
Помимо того, что мы должны принять, признавая систему S, понятие автономной последовательности предлагает и ответ на вопрос о том, что мы можем принять на тех же самых фундаментальных основаниях, признавая S. Типичным примером такой идеи является подход С. Фефермана к предикати- визму: коль скоро признана система S, все определимые в Sмножества могут быть обоснованно постулированы и квантификация по ним допущена; мы можем автономно повторить эту процедуру и достичь системы предикативного анализа.
Вполне естественным подходом к понятию «принятия системы» является взгляд, согласно которому признание системы Sимеет в виду то, что мы принимаем Sкак истинную. Что значит признать теорию как истинную? Рассмотрим следующую интерпретацию: когда мы признаем систему S0, то имплицитно принимаем ее в качестве истинной; мы добавляем новый предикат Т к S0(на основании теоремы о неопределимости Тарского) для выражения ее истинности; так как мы признали S0в качестве истинной, аксиомы, что «Т выражает предикат истины для языка S0» и «S0истинно (в терминах предиката Т)» могут и должны быть приняты. Таким способом мы достигаем и принимаем новую систему S^И мы можем повторить эту процедуру производства (и принятия) S0, Si, ..., Snи повторяя бесконечно много раз этот шаг до достижения хорошо-упорядоченности.
Прогрессия зависит от аксиом для предиката истины. «Это очень глубокий и сложный вопрос: какими аксиомами и правилами должна быть охарактеризована математическая истина?» [10. P. 915]. Наиболее известная такая характеристика дана в семантической теории А. Тарского, и ординалом его (предиката) автономной прогрессии является ординал Фефермана - Шютте Г0. Однако теория истины А. Тарского типовая и не допускает самопримени- мости истины. Бестиповые аксиоматические теории истины являются более подходящими для решения этой задачи. Вопрос о выборе аксиом для бести- повой теории истины, особенно об их способности выразить философские представления, в высшей степени сложный как с логико-математической, так и с логико-философской точки зрения. На данный момент можно утверждать, что среди существующих аксиоматических бестиповых теорий наиболее формально корректной и при этом обладающей значительной теоретикодоказательной мощью является предложенная А. Кантини система VF [11]. К. Фуджимото установил [10], что именно система VF наиболее перспективна для использования автономной прогрессии в целях выявления имплицитных допущений принятия математической теории.
На наш взгляд, сама проблема выявления имплицитных допущений, как в случае принятия математической теории, так и в случае принятия теории истины, еще далека от окончательного разрешения. Обсуждение указанных проблем несомненно важно как для оснований математики, так и для решения проблемы построения аксиоматических теорий истины и выявления степени адекватности и полноты выражения ими философских представлений, лежащих в их основании. Но нам представляется, что сказанного вполне достаточно для утверждения того факта, что современная философская логика в состоянии предложить логико-синтаксические средства экспликации семантических по своей сути концепций истины и имплицитных допущений принятия математических теорий. Это, в свою очередь, весомый аргумент как в пользу дефляционной концепции истины, трактующей последнюю в качестве исключительно логико-математического понятия, так и в пользу утверждения о возможности экспликации семантического содержания формальноматематических концепций синтаксическими средствами.
Литература
1.Feferman S. Reflection on incompleteness // The Journal of Symbolic Logic. 1991. Vol. 56, № 1. Р. 1-49.
2.Tennant N. Defationism and the Gцodel phenomena // Mind. 2002. Vol. 111. Р. 551-582.
3.Cieslinski С.Truth, Conservativeness, and Provability // Mind. 2010. Vol. 119. Р. 409-422.
4.Shapiro S. Proof and Truth: Trough thick and thin // Journal of Philosophy. 1998. Vol. 95. Р. 493-521.
5.KetlandJ. Defationism and Tarski's Paradise. // Mind. Vol. 108. 1999. Р. 69-94.
6.Halbach V. Axiomatic theories of truth. Cambridge University Press. 2014.
7.Quine W.V. Philosophy of Logic. Cambridge, MA : Harvard University Press, 1970.
8.Horsten L., Leigh G. Truth is simple // Mind. 2017. Vol. 126. Р. 195-232.
9.Halbach V. Disquotational Truth and Analyticity'// Journal of Symbolic Logic. 2011. Vol. 66. Р. 1959-1973.
10.Fujimoto K. Autonomous progression and transfinite iteration of self-applicable truth // The Journal of Symbolic Logic. 2011. Vol. 76, № 3. Р. 914-945.
11.CantiniA. Logical frameworks for truth and abstraction. Elsevir, 1996.
References
1.Feferman, S. (1991) Reflection on incompleteness. The Journal of Symbolic Logic. 56(1). pp. 1-49. DOI: 10.2307/2274902
2.Tennant, N. (2002) Defationism and the Gцodel phenomena. Mind. 111. pp. 551-582.
3.Cieslinski, С. (2010) Truth, Conservativeness, and Provability. Mind. 119. pp. 409-422. DOI: 10.1093/mind/fzq034
4.Shapiro, S. (1998) Proof and Truth: Trough thick and thin. Journal of Philosophy. 95. pp. 493-521. DOI: 10.5840/jphil199895102
5.Ketland, J. (1999) Defationism and Tarski's Paradise. Mind. 108. pp. 69-94.
6.Halbach, V. (2014) Axiomatic theories of truth. Cambridge University Press.
7.Quine, W. V. (1970) Philosophy of Logic. Cambridge, MA: Harvard University Press.
8.Horsten, L. & Leigh, G. (2017) Truth is simple. Mind. 126. pp. 195-232. DOI: 10.1093/mind/fzv184
9.Halbach, V. (2011) Disquotational Truth and Analyticity. Journal of Symbolic Logic. 66. pp. 1959-1973. DOI: 10.2307/2694987
10.Fujimoto, K. (2011) Autonomous progression and transfinite iteration of self-applicable truth. Journal of Symbolic Logic. 76(3). pp. 914-945. DOI: 10.2178/jsl/1309952527
11.Cantini, A. (1996) Logicalframeworks for truth and abstraction. Elsevier.